Grado de un polinomio

Resulta necesario, antes de abordar la definición del Grado del polinomio, revisar otros conceptos necesarios para el cabal entendimiento de este elemento.

Definición de monomio

En ese sentido, lo mejor será comenzar por la propia definición de monomio, el cual es visto por el Álgebra elemental como una expresión algebraica elemental, compuesta por una combinación de elementos abstractos numéricos y no numéricos, en las cuales deben cumplirse dos condiciones básicas, para que el término sea asumido como un monomio: La primera de ellas, que entre los números y literales que conforman el monomio no exista jamás operaciones de suma, resta o división; y en segundo lugar, que sus literales se encuentre siempre y en cualquier circunstancia elevados a números enteros y positivos, incluyendo el cero.

 

Definición de polinomio

Por su parte, el Álgebra elemental también contempla la definición de Polinomio, el cual es concebido por como una expresión algebraica compleja, constituida por un número finito de monomios, entre los que se establecen operaciones de suma, y en algunos otros casos de suma o multiplicación, pero jamás de división. En consecuencia, el polinomio será un conjunto de monomios entre los que se establecen distintas operaciones, casi siempre de suma.

Grado del polinomio

Revisadas estas definiciones, será mucho más sencillo comprender el concepto de Grado, el cual puede ser señalado como uno de los cuatro elementos fundamentales del polinomio (términos, término independiente, coeficientes y grado) el cual se encuentra constituido por el valor del mayor exponente que pueda identificarse en uno de los monomios que conforman el polinomio. No obstante, no siempre se puede encontrar polinomios de una sola variable, por lo que también es preciso describir de forma breve cómo será el procedimiento en cada caso, a la hora de determinar el grado de un polinomio. A continuación, cada una de las circunstancias que pueden contemplarse:

Determinar el grado de un polinomio de una sola variable

En el caso de que el polinomio posea monomios de una sola variable, determinar el grado de esta expresión algebraica será tan sencillo como –acorde a lo que reza la definición de este elemento- identificar cuál es el exponente de mayor valor, el cual será tomado como el grado del polinomio. Sin embargo, lo mejor será exponer un ejemplo de cómo debe determinarse el grado de polinomios que cuenten con monomios de una sola variable, tal como se muestra seguidamente:

Dado el polinomio  5x – 3x2 + 3 señalar cuál es su grado

En este caso, se trata de un trinomio, es decir un polinomio conformado por tres términos, en donde se pueden observar dos términos con variables y un término independiente. En aras de determinar cuál es el grado del polinomio, será necesario revisar los exponentes a los que se encuentran elevadas las variables de cada uno de los términos:

5x → 1 (es importante recordar que cuando una variable no cuenta con un exponente expresado de forma clara, éste se asume igual a 1).

3x2 → 2

Al ser el número 2 mayor que el 1, se concluye entonces que el grado de este polinomio es igual a 2, es decir que es un polinomio de segundo grado, o cuadrático.

Determinar el grado de un polinomio de varias variables

Por otro lado, puede ocurrir que el polinomio esté compuesto por monomios que cuenten con más de una variable. En el caso de que se quiera determinar el grado de una expresión con estas características será necesario entonces sumar los exponentes identificados en cada término, a fin de poder determinar cuál es el mayor valor obtenido, el cual será asumido entonces como el grado del polinomio. No obstante, lo más conveniente será examinar un ejemplo concreto, a fin de entender de forma práctica el procedimiento descrito:

Dado el polinomio 3xy – 2x2y + 3x2y3 – 5 determinar cuál es su grado

En este caso, tenemos un polinomio de cuatro términos, en donde cuatro son monomios con variables y uno es un término independiente. De los monomios, todos cuentan con más de una variable, por lo que para determinar el grado del polinomio, se deberá calcular el grado absoluto de cada monomio, a fin de compararlos y escoger el mayor:

3xy → 1+1= 2 (al no contar ninguna de las dos variables con exponentes expresados de forma clara, se asume que estos son equivalentes a la unidad).

– 2x2y → 2+1= 3

3x2y3 → 2 + 3= 5

Como puede verse, el grado absoluto mayor corresponde al tercer término, y es equivalente a 5, por lo que ese valor será tomado como el grado del polinomio. Por ende, se concluye que este polinomio es de quinto grado o quíntico.

Tipos de grado

Por otra parte, el Álgebra elemental también distingue para el polinomio entre dos tipos de grados, los cuales pueden verse específicamente en los polinomios cuyos monomios cuenten con más de dos variables, y cuya principal diferencia será el enfoque con el cual evalúe la expresión algebraica. Ellos son los siguientes:

Grado relativo de un polinomio

Con este nombre es conocido el tipo de grado que tiene una visión parcial del polinomio, y que se determina siguiendo los exponentes a los que se encuentre elevada la variable que se ha tomado como guía. Un ejemplo de este tipo de grado puede ser el siguiente:

Dado el polinomio 4x – 3x2y + 4x3y3 – 4 determinar sus grados relativos

Al evaluar este polinomio, se puede apreciar como dos de sus términos poseen más de una variable, por lo que es necesario para cumplir con el postulado analizar los exponentes a los que se encuentra elevada cada variable, para determinar cuál es el mayor valor en cada caso:

Exponentes de la variable x = 1, 2, 3  → el mayor valor observado en la variable x es igual a 3

Exponentes de la variable y = 1, 3 → el mayor valor observado en la variable y es igual a 3.

De acuerdo a esta evaluación, se pueden concluir entonces los siguientes grados relativos:

Según la variable x = 3

Según la variable y = 3

 

Grado absoluto de un polinomio

Por otro lado, el Grado absoluto implica una visión mucho más global del polinomio, siendo determinado entonces por el mayor valor que se origine en base a la suma de los exponentes identificados en las variables de cada monomio. Un ejemplo de cómo determinar este tipo de grado puede ser el siguiente:

Dado el polinomio 3x3 – 2xy – 3x2yz + 4 calcular el grado absoluto

Para cumplir con la exigencia dada en el postulado, se deberá calcular el grado absoluto de cada monomio, lo cual se hará sumando los valores de los exponentes de cada término:

3x3 → 3

2xy → 1+1= 2

3x2yz → 2+1+1= 4

Como se puede ver el término con mayor grado absoluto es el tercer monomio con un grado equivalente a 4. Por ende, se concluye entonces que el Grado absoluto de este polinomio es 4, es decir que le polinomio 3x3 – 2xy – 3x2yz + 4 es de cuarto grado

Imagen: flickr.com

Grado de un polinomio
mayo 23, 2017

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