Identidad de Lagrange

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Uno de los distintos tipos de identidades notables es la Identidad de Lagrange. Sin embargo, antes de abordar una explicación sobre esta fórmula o propiedad matemática, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entenderla dentro de su propio contexto.Identidad de Lagrange.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, podrá tomarse también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Trinomios e Identidades notables, por encontrarse relacionadas con la identidad notable, que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Binomios

De esta manera, podrá comenzarse por decir que los Binomios han sido explicados como una expresión algebraica, que se encuentra constituida por la suma o resta de dos monomios, es decir, dos términos algebraicos, conformados a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que ocurre una multiplicación, siendo esta la única operación que puede ocurrir entre estos elementos.

Ergo, el Binomio es un polinomio de dos términos. A continuación, algunos ejemplos de este tipo de expresiones algebraicas:

2x – y=
a + b =
y4 – z3 =

Trinomios

Así mismo, será necesario tener en cuenta también el concepto de Trinomios, los cuales han sido explicados entonces como una expresión algebraica constituida por tres monomios. Por consiguiente, los Trinomios pueden ser explicados como polinomios de tres términos. Algunos ejemplos de esta expresión algebraica serán los siguientes:

3x3 + y2 + 5=
2x + y + z =
a6 + b3 + c2 =

Identidades notables

Por último, también será necesario lanzar luces sobre el concepto de Identidades notables, las cuales han sido explicadas, de forma general, como un conjunto de reglas o fórmulas matemáticas, orientadas a la factorización de polinomios, es decir, al proceso matemático por medio del cual se toman estas expresiones algebraicas y se convierten en producto.

Así mismo, las distintas fuentes matemáticas han señalado que las Identidades notables permiten que la multiplicación de polinomios se pueda realizar de manera directa, lo cual origina aspectos positivos, como por ejemplo que las multiplicaciones no deban hacerse término por término, lo cual ahorra tiempo, y al hacer el proceso menos complicado, también evita la posibilidad de cometer algunos errores.

Identidad de Lagrange

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una definición sobre la Identidad de Lagrange, la cual ha sido explicada entonces como una de las distintas identidades notables que pueden encontrarse en relación a la factorización de polinomios, es decir, en el proceso de multiplicar expresiones algebraicas constituidas por monomios que se suman o restan entre ellos.

De forma mucho más precisa, la Identidad de Lagrange será la propiedad matemática o fórmula que permite factorizar o resolver sumas de cuadrados, tanto si se presentan como binomios, como si se configuran como trinomios. En consecuencia, existirán dos distintos casos de aplicación de la Identidad de Lagrange. A continuación, una breve explicación de cada uno de ellos:

Binomios cuadrados

En primer lugar, puede suceder que se necesita multiplicar aquellos binomios cuyos términos se encuentren elevados al cuadrado. En este caso, esta identidad notable señala que la forma correcta de factorizar este tipo de polinomios será asumiendo que el resultado es la suma del total del producto los primeros términos de ambos binomios más el producto de los segundos términos de los binomios al cuadrado más la diferencia del producto del primer término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio, menos el producto del segundo término del primer binomio por el primer término del segundo binomio, al cuadrado.

Esta fórmula –o identidad notable- podrá expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

(a2 + b2) . (x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2

Trinomios cuadrados

Por otro lado, también puede suceder que los cuadrados que se multiplican o se suman conformen trinomios. En este caso, siempre que se quiera resolver el planteamiento por medio de la Identidad de Lagrange, entonces se entenderá que el resultado será igual a lo siguiente:

El total al cuadrado de los productos de los primeros términos de ambos trinomios, más el producto de los segundos términos de ambos trinomios, más el producto de los terceros términos de ambos trinomios, más el cuadrado de la diferencia del producto del primer término del primer trinomio por el segundo término del segundo binomio menos el producto del segundo término del primer trinomio por el primer término del segundo trinomio, más el cuadrado de la diferencia del producto del primer término del primer trinomio por el tercer término del segundo trinomio menos el producto del tercer término del primer trinomio por el primer término del segundo trinomio, más el cuadrado de la diferencia del producto del segundo término del primer trinomio por el tercer término del segundo trinomio menos el producto del tercer término del primer trinomio por el segundo término del segundo trinomio.

Este caso de la Identidad de Lagrange puede ser entonces expresada de forma matemática, a través de la siguiente fórmula matemática, o identidad notable:

(a2 + b2 + c2).(x2 + y2 + z2) = (ax  + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (az – cx)2 + (bz – cy)2

Imagen: pixabay.com

Identidad de Lagrange

Bibliografía ►

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