Identidad de Legendre

Entre los distintos productos notables, que existen en relación con la factorización de polinomios, se encuentran las Identidades de Legendre. Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre esta identidad notable, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta regla matemática, dentro de su justo contexto.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, podrá tomarse también la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Monomios, Binomios e Identidades notables, por encontrarse directamente relacionadas con la regla que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Monomios

De esta manera, se comenzará por señalar que las Matemáticas han explicado los Monomios, de forma general, como un tipo de término algebraico, el cual se encuentra conformado por un elementos numérico y un elemento literal, entre los cuales se produce una operación de multiplicación, siendo esta la única operación que puede existir ente ellos, es decir, que no se admiten la resta, la suma o la división.

Así mismo, la disciplina matemática señala que los Monomios se encuentran compuestos por cuatro distintos elementos, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

  • Signo: en primer lugar, en toda lectura que se haga de izquierda a derecha, se encontrará el signo, elemento cuya tarea es declarar la naturaleza del monomio, para así mostrar si el término es positivo o negativo.
  • Coeficiente: por otro lado, también existirá el Coeficiente, compuesto por un elemento numérico, cuya misión es declarar cuál es la cantidad exacta por la que debe multiplicarse el elemento literal, toda vez que asuma un valor específico.
  • Literal: igualmente, en el Monomio puede encontrarse la presencia del literal, elemento constituido por una letra, cuya tarea es asumir, en momentos específicos, valores determinados.
  • Grado: por último, también existirá el grado del monomio, el cual se compone por el número al cual se eleva el literal. La misión de este elemento es indicar el lugar que ocupa el elemento dentro del polinomio.

Binomios

Por otro lado, también será necesario pasar revista sobre el concepto de Binomio, el cual ha sido descrito, por las distintas fuentes, como la expresión algebraica, que se constituye en base a la suma o resta que ocurre entre dos monomios. En consecuencia, los Binomios pueden ser explicados también como polinomios de dos elementos. A continuación, algunos ejemplos sobre ellos:

2x + y =

a + b =

4x3 + z2 =

Identidades notables

Finalmente, se tendrá en cuenta también el concepto de Identidades notables, las cuales –junto a los productos notables- han sido explicadas como un conjunto de normas o reglas matemáticas, orientadas a la factorización, y cuyo propósito es indicar entonces la forma correcta de descomponer un polinomio en factores, o en otras palabras, expresarlo como un producto.

Según señalan las distintas fuentes, tanto los productos como las identidades notables proporcionan la forma de multiplicar polinomios de forma directa, lo cual evita que deba multiplicarse término por término, reduciendo el tiempo en cada ejercicio, así como los errores que pudieran cometerse.

Identidad de Legendre

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Identidad de Legendre, la cual ha sido señalada, de forma general, como una de las tantas identidades notables, que teniendo como horizonte la factorización, se encarga de la suma de los binomios cuadrados.

De forma mucho más específica, la disciplina matemática ha indicado que siempre que se deba factorizar la suma de dos binomios cuadrados conjugados, es decir, que cuentan con iguales elementos, pero se diferencian sólo en su signo, entonces el resultado será igual al doble de la suma de cada uno de los términos elevados al cuadrado. Esta identidad matemática puede expresarse de la siguiente manera:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

Ejemplo de Identidad de Legendre

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre esta identidad notable, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita mostrar cómo debe procederse cada vez que se necesite factorizar la suma de binomios al cuadrado conjugados. A continuación, el siguiente ejercicio:

Factorizar los siguientes binomios:

(3x + y)2 + (3x – y)2 =

Lo primero que se hace es revisar los elementos que deben factorizarse. Al hacerlo, se descubre que se trata entonces de la suma de dos binomios al cuadrado. Se decide entonces aplicar la Identidad de Legendre, para factorizarlo. Por ende, se debe aplicar la fórmula que plantea esta identidad notable:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

(3x + y)2 + (3x – y)2 =  2.[(3x)2 + (y)2]

Hecho esto, se procede a resolver las multiplicaciones y potencias planteadas:

2.[(3x)2 + (y)2] = 2 . [9x2 + y2]

2 . [9x2 + y2] = 18x2 + y2

Se considera factorizada la expresión algebraica, por lo que sólo queda expresar matemáticamente el resultado:

(3x + y)2 + (3x – y)2 = 18x2 + y2

Si se deseara comprobar que se ha obtenido el resultado correcto, entonces se podría solucionar o factorizar estos binomios cuadrado conjugados, usando el producto notable del binomio cuadrado, en cada caso:

(a + b)2 = x2 + 2ab + b2

(3x + y)2 + (3x – y)2 =  [(3x)2 + 2.3x.y + y2] + [(3x)2 – 2.3x.y + y2]

Hecho esto, se resuelven igualmente las operaciones planteadas:

[(3x)2 + 2.3x.y + y2] + [(3x)2 – 2.3x.y + y2] =

9x2  + 6xy + y2 + 9x2 – 6xy + y2 =

Se eliminan entre sí los elementos de igual valor, pero distinto signo:

9x2  + 6xy + y2 + 9x26xy + y2 =

9x2 + y2 + 9x2 + y2 =

Se suman los valores de los términos iguales:

9x2 + 9x2 + y2 + y2 = 18x2+ 2y2

Finalmente, se expresa el resultado obtenido:

(3x + y)2 + (3x – y)2 =  18x2+ 2y2

Se obtiene entonces el mismo resultado, tanto si se aplica la Identidad de Legendre, como si se resuelve por medio del binomio cuadrado, aplicado a ambos casos. No obstante, la Identidad de Legendre se erige como el método más directo para resolver este tipo de casos.

Imagen: pixabay.com

Identidad de Legendre
septiembre 15, 2019

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