Identidades de Cauchy

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Entre los distintos tipos de soluciones directas que existen para el Cubo de un binomio se encuentran las Identidades de Cauchy. Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre esta clase de identidad notable, se revisarán algunos conceptos, que permitirán entenderla en su justo contexto.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se tomará la decisión de delimitar esta revisión a tres nociones específicas: Binomios, Productos e Identidades notables y Cubo de un binomio, por encontrarse directamente relacionadas con el procedimiento que se estudiará posteriormente. A continuación, cada uno de los siguientes conceptos:

Binomios

De esta forma, se comenzará por decir que los Binomios han sido explicados, de forma general por las distintas fuentes, como una expresión algebraica, constituida por la suma o resta de dos monomios, es decir, de dos términos algebraicos, que se encuentran conformados a su vez por un elemento numérico y un elemento literal, entre los cuales solo es posible una operación de multiplicación, quedando excluidas por completo las operaciones de suma, resta o división.

Por ende, se puede decir entonces que el Binomio es un polinomio de dos términos. A continuación, algunos ejemplos sobre estas expresiones algebraicas:

3x2 + y =
x4 + y3 =
2x + 3 =

Productos e Identidades notables

En segundo lugar, también será necesario abordar una explicación sobre los Productos o Identidades notables, las cuales han sido descritas como un conjunto de reglas o procedimientos matemáticos, cuyo principal objetivo es la factorización de polinomios, es decir, la operación que permite que un polinomio sea expresado como un producto.

Así mismo, las distintas fuentes han señalado que en el caso de los Productos e Identidades notables, este conjunto de reglas matemáticas permiten resolver operaciones de multiplicación entre polinomios de forma directa, sin que deba hacerse término por término, lo cual además de ahorrar gran cantidad de tiempo, también reduce el riesgo de cometer errores en este tipo de operaciones.

Por su lado, las Identidades notables no sólo cuentan con la capacidad de resolver de forma directa productos entre polinomios, sino que es capaz de descomponer expresiones algebraicas, es decir, en base a un resultado, concluir cuál es la operación del cual ha salido.

Cubo de un binomio

Finalmente, también se tomará un momento para lanzar luces sobre el concepto Cubo de un binomio, el cual ha sido definido como uno de los principales productos notables, que pueden encontrarse.

De forma un poco más precisa, el Cubo de un binomio es la regla matemática que se aplica siempre que se desea tomar un polinomio de dos términos, y elevarlo al cubo, es decir, multiplicarlo por sí mismo tres veces. En este caso, el Cubo de un binomio señala que siempre que se quiera hacer esta operación, el resultado será igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Esta regla puede  expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Por ejemplo, si se tuviera el siguiente ejercicio:

(2x + 3y)3 =

La forma de resolverlo podría ser por medio del producto notable Cubo de un Binomio. Para esto, se aplicaría la fórmula correspondiente:

(2x + 3y)3 =  (2x)3 + 3.(2x)2.(3y) + 3.(2x).(3y)2 + (3y)3

(2x)3 + 3.(2x)2.(3y) + 3.(2x).(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 3.(4x2).(3y) + 3. (2x). (9y2) + 27y3

8x3 + 3.(4x2).(3y) + 3. (2x). (9y2) + 27y3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

Se ordena el polinomio obtenido:

8x3 + + 27y3 + 36x2y + 54xy2 =

Se expresa entonces el resultado:

(2x + 3y)3 = 8x3 + + 27y3 + 36x2y + 54xy2 =

Identidades de Cauchy

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre las Identidades de Cauchy, la cual puede ser incluida dentro de las distintas identidades notables.

De forma mucho más específica, las Identidades de Cauchy han sido explicadas como una regla matemática que permite solucionar toda operación en donde se desee elevar al cubo un binomio. En este sentido, esta ley algebraica señala que siempre que se quiera realizar esta operación, el resultado será igual al cubo del primer término, más el cubo del segundo término, más el tripe del producto de los términos por la suma de los mismos. Esta identidad puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab.(a +b)

Ejemplo de la Identidad de Cauchy

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de cerrar una explicación sobre esta identidad sea revisar de forma breve un ejemplo preciso sobre la aplicación de esta regla matemática. A continuación, el siguiente ejercicio:

(2x + 3y)3 =

Para resolver esta potencia, por medio de la Identidad de Cauchy, será necesario entonces aplicar la fórmula matemática que ella constituye:

(2x + 3y)3 = (2x)3 + (3y)3 + 3.(2x).(3y) . (2x + 3y)

Se busca entonces resolver las siguientes operaciones:

(2x)3 + (3y)3 + 3.(2x).(3y) . (2x + 3y) = 8x3 + 27y3 + 18xy . (2x + 3y)

8x3 + 27y3 + 18xy . (2x + 3y) = 8x3 + 27y3 +36x2y + 54xy2

Por último, se expresa el resultado:

(2x + 3y)3 = 8x3 + 27y3 +36x2y + 54xy2

Al aplicar la Identidad de Cauchy, al mismo binomio, se puede comprobar cómo por medio de los dos procedimientos, tanto por medio del producto como de la identidad notable, se llega al mismo resultado.

Imagen: pixabay.com

Identidades de Cauchy

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