La ley de Morgan

En el ámbito de las Matemáticas, específicamente dentro de la álgebra de Boole y de la Lógica proposicional, se conoce con el nombre de Leyes de Morgan a dos postulados, emitidos en su momento por el matemático británico Augustus de Morgan, y que se basan principalmente en declarar la equivalencia que puede existir entre dos proposiciones lógicamente equivalentes.

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Objetivo de las Leyes de Morgan

En este sentido, las Leyes de Morgan habrían sido establecidas a fin de permitirle al matemático la posibilidad de cambiar el operador de conjunción a un operador de disyunción, así también como su proceso contrario, por medio del cual el matemático podría cambiar el operador de disyunción por un operador de conjunción, tanto si estas conjunciones y disyunciones son afirmadas o negadas, de forma absoluta o en algunas de sus partes. Así mismo, las Leyes de Morgan se erigen también como reglas de inferencia válidas, que permiten dentro de la lógica proposicional, expresar tanto conjunciones y disyunciones a través de términos de una “vía negación”.

Historia de las Leyes de Morgan

De acuerdo a lo que indica la Historia de las Matemáticas, el principal antecedente de estas leyes puede situarse en el propio Aristóteles, quien en su Lógica ya había encontrado la forma de hacer inferencias válidas que pueden hacerse sobre dos proposiciones lógicamente equivalentes, forma que fue ampliamente manejada por los lógicos helénicos, y posteriormente por aquellos que retomaron el estudio de la Lógica aristotélica durante la Edad Media.

Posteriormente, durante el siglo XIX, basándose a su vez en los postulados y rescate de la lógica hecho por George Boole, Augustus de Morgan logra la formalización de las leyes correspondientes a la Lógica proposicional clásica, erigiéndose entonces como el autor de ellas, mérito por el cual dichos postulados reciben su nombre: Leyes de Morgan, al tiempo que comenzaron a formar parte del lenguaje inherente a la ciencia de la Lógica, convirtiéndose desde entonces en herramientas indispensables para lograr inferencias válidas en base a los distintos argumentos o pruebas de tipo deductivo.

Expresión de las Leyes de Morgan

Con respecto a la expresión formal de los postulados de las Leyes de Morgan, la mayoría de las fuentes matemáticas coinciden en señalar que estas reglas están compuestas por dos normas, por lo que básicamente se concibe que las Leyes de Morgan son dos, las cuales contarían con la siguiente expresión:

La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones

No obstante, por lo general la Lógica proposicional también hace uso de las proposiciones P y Q para expresar formalmente las Leyes de Morgan, dándole entonces un valor a cada signo, teniendo por consiguiente que cada uno equivale al siguiente concepto:

¬ considerado el operador de negación, con su equivalente “No”
˄ considerado el operador de conjunción, con su equivalente “Y”
˅ considerado el operador de disyunción (O)-
<=> considerado como el equivalente a “puede ser reemplazado”.

Conocidas entonces las equivalencias, se puede ver cómo la expresión formal de las Leyes de Morgan conduce a las siguientes fórmulas:

¬ (P ˄ Q) <=> (¬P) ˅ (¬Q)

¬ (P ˅ Q) <=> (¬P) ˄ (¬Q)

Expresión informal de las Leyes de Morgan

No obstante, estas mismas fuentes señalan que también existe una expresión informal de las Leyes de Morgan, la cual tomaría la siguiente forma:

No (A y B) es equivalente o igual que (no A) o (no B)

Usos prácticos

Finalmente, aun cuando parezcan fórmulas superficiales y sin aparente utilidad, realmente las Leyes de Morgan, es decir, la expresión formal de la Lógica Proposicional, es de gran utilidad en los procesos inherentes a las expresiones lógicas, que son usadas frecuentemente dentro del diseño de programas de informática, e incluso dentro del diseño de circuitos de tipo digital.

Imagen: pixabay.com

La ley de Morgan
octubre 8, 2016
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