Las bisectrices de un triángulo y el incentro

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también sea conveniente delimitar esta explicación a cuatro nociones específicas: Semirrectas, Ángulo, Triángulo y Bisectrices del ángulo, por encontrarse directamente relacionadas con los conceptos de Bisectrices de un triángulo o su incentro. A continuación, cada una de ellas:

Semirrectas

Al momento de abordar el concepto de Semirrecta, puede que lo mejor sea traer a capítulo también las definiciones de Rectas y Rectas secantes. De esta manera, se comenzará por decir que la Recta ha sido concebida por la Geometría como una sucesión infinita de puntos, los cuales deben contar con igual dirección. Así mismo, la Recta es entendida como una figura geométrica unidimensional. No obstante, estas no son las únicas características de la Recta, la cual se puede distinguir igualmente por estos rasgos:

• Siendo producto de una secesión infinita de puntos, la Recta se distingue por ser una figura geométrica infinita, es decir, no tiene ni principio ni final.
• Por igual, la teoría señala que los puntos que conforman esta figura deben tener igual dirección, sin embargo, la Recta podrá tener dos sentidos diferentes, lo cual dependerá de la lectura que se realice.
• También, la Recta será considerada como la distancia más corta que existe entre dos puntos, así como la única figura geométrica que puede pasar a través de ellos, acción que comete además una vez por ocasión.
• Finalmente, la Recta siempre será representada por una letra minúscula.

En cuanto a las Rectas secantes, se puede decir que se encuentran constituidas por dos líneas rectas, no perpendiculares, que se cortan o intersectan en algún momento de su extensión. Al hacerlo, las Rectas dan origen a dos Semirrectas, dos Semirrectas opuestas y cuatro ángulos.

Por consiguiente, la Semirrecta será una figura geométrica, que se origina de la Recta, cuando esta constituye una Recta secante, y que al igual de ella se encuentra compuesta por una sucesión infinita de puntos, todos dispuestos hacia la misma dirección. A diferencia de la Recta, la Semirrecta tendrá un punto de origen, así como un solo sentido. Empero, también carecerá de punto final. Toda vez que nazca una Semirrecta, surgirá una Semirrecta opuesta.

Ángulo

No obstante, cuando dos Rectas secantes se cortan, no solo se da lugar a dos Semirrectas, sino que esta nuevas figuras geométricas, que comparten el punto de inicio, comienzan también a delimitar un espacio geométrico específico, el cual se caracteriza por tres elementos básicos: contar con dos lados, constituidos por las semirrectas que lo delimitan; un vértice, que coincide totalmente con el punto de origen de ambas figuras; en último lugar, cuenta con una amplitud, que puede ser medida en grados. Este espacio geométrico se denomina Ángulo.

Triángulo

Por su parte, el Triángulo puede ser explicado como un polígono, es decir, como una figura geométrica bidimensional y totalmente cerrada, la cual se encuentra delimitada por un conjunto de segmentos de recta. En consecuencia, el Triángulo tendrá todos sus lados rectos, y estos podrán contarse en número de tres. Ergo, la figura geométrica denominada triángulo es un polígono de tres lados rectos.

Pero estas no son las únicas características con las que cuenta un triángulo, el cual también se caracterizará por los siguientes rasgos:

• Tres vértices: al ser una figura cerrada, los lados del triángulo se unen en puntos específicos, los cuales crean lo que se denomina vértice.
• Tres ángulos: cuando estos lados o segmentos de recta coinciden, comienzan entonces a delimitar un espacio geométrico, que poseerá lados, vértice, amplitud, y se denominará ángulo.
• Dos diagonales: finalmente, siendo una figura de tres lados, los vértices del triángulo se encontrará siempre contiguos, por lo que se hace imposible que el Triángulo pueda tener diagonales, pues estas son segmentos de recta que solo pueden extenderse en los polígonos, entre vértices no contiguos.

Bisectrices de un triángulo

En último lugar, también será conveniente lanzar luces sobre el concepto de Bisectrices de un triángulo. Para esto será necesario recordar que la Geometría ha definido la Bisectriz como la semirrecta, que naciendo desde el vértice del ángulo, se extiende a través de todo su punto medio, dividiendo entonces el ángulo en dos, mientras que crea dos distintos ángulos, que tendrá como medida exactamente la mitad de lo que media el ángulo original.

Igualmente, la Geometría señala que a la hora de trazar una Bisectriz en un ángulo, se deberán seguir los pasos que se nombran a continuación:

• Dado el ángulo, se tomará un compás, y se apoyará este instrumento en el vértice del ángulo, y con una amplitud media.
• Se procederá entonces a trazar un arco, que cumple con la característica de intersectar cada uno de los dos lados con los que cuenta el ángulo.
• Posteriormente, se tomará entonces el compás, y se apoyará en uno de los puntos creados, a fin de trazar una circunferencia.
• Se repetirá esta acción, pero apoyando el compás en el otro punto. La idea es que estas circunferencias posean arcos que se intersecten.
• Obtenido este punto de intersección de las dos circunferencias, el cual debe coincidir con el punto medio del ángulo, se trazará entonces una semirrecta, que nazca del vértice y se dirija hacia este punto. Esta será la Bisectriz.

Bisectrices del triángulo y el incentro

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse una explicación sobre los conceptos de Bisectrices del triángulo y su correspondiente incentro. En consecuencia, se comenzará por decir que siendo el triángulo un polígono cerrado, de tres lados, y en donde pueden encontrarse tres distintos vértices. Por ende, en el triángulo, se podrán encontrar tres bisectrices, uno por cada vértice.

Si al trazar las Bisectrices hasta el lado puesto del vértice, entonces se conseguirá un punto medio, el cual se denominará incentro del triángulo. Si se tomara un compás, y se apoyara en el incentro, con una amplitud, que llegue hasta el punto que crea la Bisectriz con el lado opuesto al vértice, se obtendrá una circunferencia, que quedará totalmente inscrita dentro del triángulo.

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