Las identidades (Matemáticas)

Quizás lo más conveniente, previo a tomar un momento para abordar una explicación sobre las Identidades, puede que lo más conveniente sea revisar algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta realidad matemática dentro de su contexto preciso.

Definiciones fundamentales

Por otro lado, también será necesario delimitar esta revisión teórica a dos nociones específicas: En primer lugar, será necesario abordar el concepto de Término algebraico, así como la definición  de Igualdades. La razón por la cual deberán revisarse estos conceptos es porque se encuentran directamente relacionadas con las realidades que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Término algebraico

En primer lugar, será necesario tomar un momento para revisar cuál es el concepto del Término algebraico, expresión matemática que se encuentra conformada por un elemento numérico y un elemento literal, entre las que se sostiene una operación de multiplicación, pero jamás una operación de suma, resta o división. Un ejemplo de términos algebraicos serán los siguientes:

3a2
4ab
-9a

Así mismo, las Matemáticas han señalado que los términos algebraicos se encuentran conformados por cuatro elementos, los cuales han sido explicados de la siguiente manera:

  • Signo: el primer elemento que puede identificarse en los términos algebraicos será el signo, el cual cumple con la tarea de señalar si el término algebraico es de naturaleza positiva o negativa. Por convención, sólo se escribirá el signo negativo, puesto que si el término algebraico no presenta un signo entonces se entiende que es positivo.
  • Coeficiente: por otro lado, en los términos algebraicos también habrá un coeficiente, el cual se encontrará constituido por un elemento numérico.
  • Literal: de igual manera, en los términos algebraicos, se podrán encontrar términos literales, los cuales se encontrarán conformados por letras. Por convención se usan por lo general las letras a, b y c. No obstante, si el valor representado por los literales son desconocidos entonces se usarán las letras x, y o z.
  • Grado: finalmente, en el término algebraico se encontrará también el Grado, el cual estará constituido por el exponente al cual se eleva el exponente. Por convención, cuando el literal no cuenta con un exponente explícito, entonces se asumirá que se encuentra elevado a la unidad.

Igualdades

En segundo lugar, también será necesario tener en consideración el concepto de Igualdades, las cuales han sido definidas como las relaciones de igualdad que existen entre dos términos o realidades. Por otro lado, las Matemáticas señalan que las Igualdades se encontrarán expresadas por medio del signo de igualdad: =, el cual se colocará entre las dos realidades o expresiones que establecen esta relación.

Así también, la disciplina ha señalado que las Igualdades se encuentran conformadas por dos elementos, definidos a su vez de la siguiente manera:

  • Primer miembro: explicado como el miembro que se sitúa antes del signo de igualdad.
  • Segundo miembro: por su lado, el segundo miembro de la igualdad será el que se encuentre situado después del signo de igualdad.

De igual forma, se considera que existen dos tipos de igualdades, cuya principal diferencia será si en las expresiones que establecen esta relación solo existen elementos numéricos o si también existe presencia de literales. Por ende, las igualdades se clasificarán entre igualdades numéricas e igualdades literales.

Identidades

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que realmente sea mucho más sencillo aproximarse al concepto de Identidades, el cual se encuentra bastante cercano al de ecuaciones, y que han sido definidas como la relación de igualdad que existe entre términos literales o términos algebraicos, sin importar los distintos valores que asuman los literales.

Un ejemplo sobre las Identidades puede ser el siguiente:

2x + 2x = 4x

En esta relación siempre existirá igualdad puesto que independientemente del valor que asuma x, se mantendrá la relación. De esta manera, si se buscara comprobar esto, pues bastaría entonces con reemplazar los literales de estos términos algebraicos por otros valores:

2.1 + 2.1 = 4.1 → 2 + 2 = 4
2 . 2 + 2 . 2 = 4 .2 → 4 + 4 = 8 → 8 = 8
2 . 3 + 2 . 3 = 4 . 3 → 6 + 6 = 12 → 12 = 12

Al ver que la igualdad sostenida entre estos literales se mantiene independientemente del valor que asuman los literales, entonces se considerará que se está en presencia de una identidad.

Ejemplos de Identidades

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre las Identidades sea exponer algunos casos que pueden servir de ejemplo a este tipo de relaciones de igualdad. A continuación, algunos de ellos:

Ejemplo 1

Determinar si la siguiente expresión puede considerarse o no una identidad:

3x = x + 2x

Para comprobar si esta expresión es realmente una identidad o no, se deberá simplemente sustituir entonces los literales por distintos valores_

3 . 1 = 1 + 2 . 1 → 3 = 1 + 3 → 3 = 3
3 . 2 = 2 + 2 . 2 → 6 = 2 + 4 → 6 = 6
3 . 3 = 3 + 2 . 3 → 9 = 3 + 6 → 9 = 9
3 . 20 = 20 + 2 . 20 → 60 = 20 + 40 → 60 = 60

Con algunos valores por los que se sustituya los literales será suficiente para descubrir si la relación de igualdad entre ellos se mantiene o no. Si se mantiene, entonces se puede asumir que se está frente a una identidad.

Otros ejemplos

Así mismo, otros ejemplos de identidades serán las siguientes:

2x = x + x
4x = 3x + x
2x + 3x = 5x
7x = 4x + x + 2x

Imagen: pixabay.com

Las identidades (Matemáticas)
diciembre 28, 2018
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