Ley de Absorción en la Unión de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, quizás sea apropiado empezar con el propio concepto de Conjunto, pues ayudará a tener presente la naturaleza de los objetos en base a los cuales se realizan las operaciones de Unión e Intersección, procedimientos estos en donde tiene lugar la Ley de Absorción, y que deben ser definidas igualmente. A continuación, estos conceptos:

Conjunto

De esta forma, se puede comenzar por decir que las Matemáticas han definido al Conjunto como un objeto, conformado por un listado de elementos, los cuales lo constituyen de forma única y exclusiva, y que deben tener entre ellos un rasgo en común, que permita considerarlos como propios de una misma naturaleza, requisito además indispensable para formar parte de una misma colección o Conjunto. Así mismo, las distintas fuentes teóricas señalar que la notación de conjuntos se basa en tres pilares básicos: que el conjunto lleve el nombre de una letra mayúscula, que los elementos que lo conforman sean presentados como una lista, separados por comas; y finalmente que este listado de elementos se encuentre contenido entre dos signos de llaves {}.

Unión de conjuntos

Por su parte, la Unión de Conjuntos puede ser concebida como una operación básica del Álgebra de Conjuntos, en donde básicamente se contempla que dos o más conjuntos se unen, formando un conjunto adicional en donde puede contarse de forma plena todos y cada uno de los elementos que han constituido originalmente los conjuntos, que han formado parte de la operación. Igualmente esta disciplina matemática señala que el signo que indica la operación de Unión es la ∪, mientras que se puede considerar la siguiente expresión como la forma matemática de indicar esta operación:

A ∪ B ∪ C = │A│ +  │B│ + │C│

Intersección de Conjuntos

Así también, será necesario revisar la definición de Intersección de Conjuntos, la cual es vista también por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica. En la Intersección de Conjuntos, dos o más conjuntos se intersectan entre ellos a fin de generar otro conjunto, en donde puedan contarse los elementos comunes a los conjuntos involucrados en la operación. El signo que indica esta operación es ∩, mientras que la forma de expresar la Intersección de conjuntos será la siguiente:

A ∩ B =

Ley de absorción en la Unión de Conjuntos

Con estas definiciones presentes, será mucho más sencillo entender la terminología y las operaciones relacionadas con la comprobación de esta Ley inherente respecto a la Intersección en la Unión de Conjuntos, y que se encuentra estrechamente ligada a la Propiedad Distributiva con respecto a la Intersección en la Unión de Conjuntos. En consecuencia, se puede comenzar por referir a lo que dicta esta Propiedad la cual indica que la Unión del conjunto A con la intersección de los conjuntos A y B será igual al mismo conjunto A, lo cual además puede resultar equivalente a la intersección del conjunto A con la unión del conjunto A y el conjunto B, ley esta que puede expresarse a su vez de la siguiente forma:

A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B)

Ejemplos de la Ley de absorción en la Ley de Conjuntos

No obstante, quizás la forma más eficiente de explicar este principio o ley matemática, propia de la Intersección en la Unión de Conjuntos, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, el cual permita ver en la práctica, aquellos que dicta la teoría, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, constituido por nombres masculinos que comiencen por la letra “f”: A= {Fabián, Freddy, Fabricio, Fernando} y un conjunto B, en donde puedan contarse nombres masculinos que terminen en la letra “o”: B= {Oswaldo, Fernando, Fabricio, Armando} se deberá comprobar si en realidad se cumple la Ley de absorción en la Unión de Conjuntos con respecto a la intersección, y viceversa.

Para esto será necesario realizar las operaciones necesarias para cumplir con la Propiedad  A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B) a fin de comprobar si las equivalencias que indica son ciertas o no:

A= {Fabián, Freddy, Fabricio, Fernando}
B= {Oswaldo, Fernando, Fabricio, Armando}

A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B)

A ∪ (A ∩ B) =  {Fabián, Freddy, Fabricio, Fernando}  ∪ {Fernando, Fabricio}
A ∪ (A ∩ B) =  {Fabián, Freddy, Fabricio, Fernando}

Por lo tanto, al revisar los resultados, se puede concluir ciertamente que A ∪ (A ∩ B) =  A. Igualmente, se deberá comprobar la segunda operación:

A ∩ (A ∪ B) = {Fabián, Freddy, Fabricio, Fernando} ∩ {Fernando, Fabricio}
A ∩ (A ∪ B) = {Fabián, Freddy, Fabricio, Fernando}

De igual forma, se puede concluir que la equivalente A = A ∩ (A ∪ B) es cierta, así también como el planteamiento inicial A ∪ (A ∩ B) =  A  =  A ∩ (A ∪ B), hecho que a su vez indica que ha podido comprobarse la Ley de Absorción con respeto a la Intersección en la Unión de Conjuntos, así como al contraio.

Imagen: pixabay.com