Longitud de un arco, cuando la amplitud se expresa en radianes

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Quizás lo más recomendable, previo a abordar una explicación sobre la forma adecuada en que debe calcularse la Longitud de un Arco, cuando la amplitud de este se ha expresado en radianes, sea revisar de forma breve algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento matemático en su justo contexto.

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también sea necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: la primera de ellas, el propio concepto de Geometría. Así también, será necesario tener en cuenta las definiciones de Circunferencia, Arco, Ángulo central y radianes, por ser la curva, segmento y tipos de ángulos directamente relacionados con el procedimiento destinado a calcular la Longitud o perímetro de un arco, cuya amplitud se ha expresado en radianes, y no en grados. A continuación, cada una de estas cuestiones:

La Geometría

En consecuencia, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido la Geometría como la disciplina, que tiene como principal objetivo el estudio de las formas, así como de sus respectivas propiedades (Longitud, área, volumen, etc.). Por otro lado, también existen autores que definen la Geometría como la ciencia de las medidas.

Igualmente, la Geometría ha sido señalada como una de las disciplinas matemáticas más antiguas. Quienes así afirman manejan la teoría de que tal como los números naturales pudieron surgir directamente de la noción de cantidad, concebida por el hombre primitivo, en sus primeros pasos por contabilizar sus recursos, la Geometría pudo surgir en el momento en que estos primeros humanos trataban de entender, medir y replicar las distintas formas, en la carrera por hacerse con herramientas y espacios cada vez más eficientes, hechos relacionados de forma directa con sus probabilidades de sobrevivencia.

La circunferencia

De esta manera, también será necesario reparar en la definición de Circunferencia, la cual ha sido explicada por las fuentes geométricas como la línea curva, plana y cerrada, que se dispone alrededor de un centro, elemento de la circunferencia, que cuenta a su vez con la característica de encontrarse situado a una distancia equidistante a todos los puntos que conforman la circunferencia.

No obstante, la Geometría advierte que es un error común confundir la Circunferencia y el Círculo, situación que se debe evitar, y para la que siempre se debe recordar que esta disciplina concibe la Circunferencia como la curva plana y cerrada que se extiende alrededor de un centro, mientras que el Círculo es descrito como el espacio geométrico que queda delimitado por esta curva, llamada Circunferencia.

Arco

En tercera instancia, será también necesario tener en cuenta el concepto de Arco. Sin embargo, antes de pasar a este concepto, será necesario pasar revista igualmente sobre el concepto de Cuerda, la cual es entendida como un segmento de la Circunferencia, el cual une dos puntos de esta curva, sin pasar por su centro. Así mismo, al trazarse una Cuerda en una Circunferencia esta curva se divide en varias partes, las cuales serán conocidas por el nombre de Arco. Es decir, el Arco será cada una de las partes en que una Cuerda divide la Circunferencia.

Ángulo central

Por su parte, el Ángulo central será explicado como una de las posiciones relativas que puede sostener un ángulo y una circunferencia. Igualmente, este tipo de ángulo es descrito como aquel que posee un vértice, que coincide por completo con el centro de la circunferencia, con la cual sostiene esta posición relativa, mientras que los lados que lo limitan se encuentran constituidos por dos radios.

Radián

Por último, será necesario señalar que la Geometría define el Radián como el tipo de ángulo central, es decir, que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y está conformado por dos radios, y cuyo arco opuesto al ángulo cuenta con una amplitud que mide exactamente igual que sus radios. No obstante, la Geometría también ha optado por nombrar como radianes a este arco.

En el momento en que se quiere determinar cuántos radianes tiene una circunferencia, será necesario dividir la Longitud de la circunferencia entre la medida del radio de esta curva:

Longitud de un arco, si su la amplitud se expresa en radianes

Una vez se han revisado cada uno de estos conceptos, puede que sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación sobre cuál debe ser el proceso específico que se debe usar toda vez que se desee determinar cuál es la longitud o perímetro de un Arco, cuya amplitud ha sido medido en radianes. Para esto será necesario recordar primero, que a la hora que se quiera determinar la Longitud del Arco, cuando esta ha sido expresada en grados, se deberá cumplir con la siguiente fórmula:

En esta fórmula se entenderá que n refiere directamente a la amplitud del Arco, expresada en grados. Sin embargo, si esta medida debiera ser expresada en radianes, se deberá someter a una simple regla de tres, en donde se exprese lo siguiente:

Sin en 360º →  hay 2 π radianes

en tantas n → cuántos x radianes habrá

Una vez aplicada esta regla de tres, se tendrá entonces que x resultará igual a lo siguiente:

A x es necesario conocerla, pues en el momento en que se quiera determinar cuál es el perímetro o longitud de un Arco, cuya amplitud se ha medido en radianes, será necesario aplicar la siguiente fórmula:

Imagen: pixabay.com

Longitud de un arco, cuando la amplitud se expresa en radianes

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