Longitud del arco

Antes de abordar una explicación sobre cómo debe ser la forma correcta de determinar cuál es la longitud de un arco, quizás lo más conveniente sea revisar brevemente algunos conceptos, que permitirán entender esta medida geométrica dentro de su justo contexto.

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que también sea necesario delimitar esta revisión teórica a cinco nociones específicas: la primera de ellas, el concepto mismo de Geometría, pues esto permitirá cobrar conciencia sobre la naturaleza de la disciplina en donde ha nacido la definición de Longitud de un Arco. Por otro lado, también será de provecho pasar revista sobre los conceptos de Circunferencia, Radio, Arco y Radián, por ser la curva, segmentos y espacios geométricos, directamente relacionados en esta medida. A continuación, cada una de estas cuestiones:

La Geometría

De esta forma, se comenzará por decir que las Matemáticas han definido la Geometría como una de sus principales disciplinas, considerándola entonces como la ciencia de las medidas.  Así mismo, la Geometría es vista por la mayoría de las fuentes como la materia, cuyo principal propósito es el estudio de las diferentes formas, así como de sus respectivas propiedades.

Por otro lado, existen autores que señalan que la Geometría puede ser identificada igualmente como una de las disciplinas matemáticas más antiguas. En este orden de ideas, quienes así sostienen son de la opinión que tal como los Números naturales pudieron evolucionar directamente de la noción de cantidad, manejada por los primeros hombres, en su afán por contabilizar sus recursos, la Geometría pudo surgir de los intentos de estos humanos por entender, medir, modificar o replicar las distintas formas, a fin de poder hacerse con espacios y herramientas más eficaces, elementos estos ligados directamente con sus posibilidades de sobrevivencia.

La circunferencia

En segunda instancia, será igualmente necesario tener en cuenta el concepto que ha dado la Geometría sobre la Circunferencia, la cual ha sido definida como una línea curva, plana y cerrada, que se extiende alrededor de un centro, elemento de la Circunferencia, que se encuentra ubicado a una distancia equidistante, respecto a cada uno de los puntos que conforman esta curva.

Así mismo, la Geometría ha destacado la importancia de no confundir la Circunferencia con el Círculo, error que suele ser bastante común. Al respecto, esta disciplina ha señalado que la Circunferencia debe ser entendida en todo momento como la línea curva y plana, que se extiende alrededor de un Centro, mientras que el Círculo será el espacio geométrico que queda delimitado por esta curva, denominada también la Circunferencia.

Radio

Igualmente, resultará pertinente lanzar luces sobre la definición del Radio, el cual ha sido explicado por las distintas fuentes geométricas como un segmento de la Circunferencia, cuya principal característica es la de unir un punto cualquiera de los que constituyen esta curva plana, con su centro. Por ende, el Radio tendrá una medida que resultará equivalente a la distancia equidistante que existe entre el centro y cada uno de los puntos que componen la Circunferencia. De igual manera, una Circunferencia tendrá tantos radios como puntos tenga su curva.

Arco

Entre los conceptos que deben analizarse también deberá tomarse en cuenta el concepto de Arco. No obstante, antes de abordarlo, conviene traer a capítulo la definición de Cuerda, la cual es entendida como uno de los principales segmentos de la Circunferencia, que se encarga de unir dos distintos puntos de esta curva, sin pasar por su centro. Además de unir dos puntos diferentes de la Circunferencia, la Cuerda divide esta curva. Cada una de estas partes se conoce como Arco.

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Ángulo central

Así también, será necesario traer a capítulo la definición de Ángulo central, el cual será entendido en primer momento como una de las posiciones relativas que establecen los ángulos respecto a la Circunferencia. En cuanto a su definición específica, el Ángulo central ha sido explicado como aquel espacio geométrico, delimitado por dos radios, los cuales fungen como los lados de este ángulo, mientras que su vértice se encuentra ubicado en el centro de esta circunferencia.

Radián

Por último, también resultará pertinente explicar que el Radián es entendido como aquel Ángulo central, que cuenta con un arco correspondiente, caracterizado por tener una amplitud, equivalente a la que poseen uno de los radios que le sirve de lado a dicho ángulo central. Igualmente, la Geometría opta por llamar Radián al Arco que le corresponde a este tipo de ángulo.

En el caso que se quiera saber cuántos radianes existen en una circunferencia, será indispensable dividir la Longitud de la Circunferencia entre el valor que tiene el radio:

Por ende, una circunferencia, de 360º tendrá siempre 2π radianes.

Longitud del Arco

Una vez se ha pasado revista sobre estos conceptos, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse a una explicación respecto a la Longitud del Arco, la cual podrá ser entendida como una medida geométrica, que busca determinar cuál es el perímetro del arco correspondiente al ángulo de una circunferencia. Sin embargo, en el momento de determinar esta medida habrá que tomar en consideración si la amplitud del Arco ha sido expresada en grados o en radianes, puede esto determinará cuál es el proceso específico que deberá seguirse. A continuación, una breve explicación en cada caso:

Si a amplitud se expresa en grados

El primer caso que se analizará será aquel en el que la amplitud del Arco, cuya Longitud quiere determinarse, ha sido expresada en grados. En este caso, la Geometría dice que debe aplicarse una fórmula matemática, en la cual se busque dividir la longitud de la circunferencia entre los 360º que esta tiene, y multiplicar dicho cociente por la cantidad de grados que tiene de amplitud el Arco. Por ende, se tendrá lo siguiente:

En donde, n es la amplitud del Arco, expresada en grados.

Si la amplitud se expresa en radianes

No obstante, puede suceder igualmente que se requiera calcular cuál es la Longitud del Arco, cuando su amplitud sea expresada, o deba ser expresada en radianes. En este sentido, lo primero que deberá hacerse, en caso de que las circunstancias exijan que dicha amplitud sea llevada a radianes, será convertir esta medida. Para hacerlo, se recurrirá a una simple regla de tres:

En donde si en 360º → 2π radianes
En nº → cuántos x radianes habrá

De esta manera, la amplitud de un Arco expresada en radianes será igual a la siguiente fórmula:

Una vez establecida x, que corresponderá a la Amplitud el Arco medido en radianes, se deberá multiplicar por la medida del radio, a fin de determinar cuál es la Longitud del Arco. Por consiguiente, se aplicará la siguiente fórmula::

Imagen: pixabay.com

Longitud del arco
junio 20, 2018