Los intervalos (funciones matemáticas)

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se tomará la decisión de delimitar esta revisión teórica a cinco distintas definiciones: Conjuntos, Correspondencia, Funciones, Variables de la función, Dominio y Rango de la Función, por encontrarse directamente relacionadas con el concepto y las categorías que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada uno de ellos:

Los conjuntos

De esta manera, podrá comenzarse a decir que los Conjuntos pueden ser explicados por las Matemáticas como un tipo de colección u objeto matemático, constituido por un grupo de elementos, que se caracterizan por pertenecer a la misma naturaleza. Por ende, algunos autores se inclinan a definir al conjunto también como una colección abstracta de elementos heterogéneos.

Así mismo, la disciplina matemática indica que los elementos que conforman este tipo de colecciones tienen también como característica la capacidad de definir, de forma única y exclusiva, al conjunto al cual pertenecen. Por otro lado, las Matemáticas indican que los conjuntos deben ser expresados de una manera específica: en primer lugar, se denominarán siempre por medio de una letra mayúscula, mientras que los elementos que contienen serán expresados como una enumeración, separados por comas, e incluidos entre signos de llaves: { }

La correspondencia

Igualmente, será necesario lanzar luces sobre el concepto de Correspondencia, la cual ha sido entendida como la relación matemática que existe entre dos conjuntos, siempre que pueda verse cómo, en relación a un criterio específico, uno, alguno o todos los elementos de una de las colecciones involucradas se encuentra relacionada a uno, alguno o todos los elementos que pueden encontrarse en la otra colección relacionada. Un ejemplo de Correspondencia puede ser el siguiente:

Así mismo, las Matemáticas han indicado que además de los dos conjuntos entre los que se establece la correspondencia, al establecerse esta relación se generan tres colecciones más, las cuales pueden ser definidas tal como se muestra a continuación:

• Conjunto inicial: conocido también como conjunto de partida, es entendido como la colección de la cual parte la relación de correspondencia, así como las flechas que son utilizadas para señalarla. Por otro lado, los elementos que constituyen este conjunto se conocen con el nombre de antiimagen, y se caracterizan por ejercer como el primer elemento del par de correspondencia.
• Conjunto final: otro de los conjuntos que pueden encontrarse en la Correspondencia es este, denominado de igual manera como conjunto de llegada. Los elementos que participan de la relación de correspondencia conforman este conjunto, al tiempo que reciben el nombre de imagen, y ejercen como segundo término del par de correspondencia.
• Grafo: por igual, en la Correspondencia, se crea también el Grafo, el cual ha sido explicados entonces como el conjunto o colección formada en base a los distintos pares de correspondencia que se establecen en la relación.

Función

Así también, se tomará en cuenta la definición de Función, la cual ha sido explicada, de forma general, como una relación de Correspondencia, que se crea entre dos conjuntos, toda vez que uno, todos o algunos de los elementos de una colección cuentan cada uno con una imagen entre los elementos del conjunto de llegada. Un ejemplo de este tipo de relación será el siguiente:

Variables de la función

De igual forma, las Matemáticas han señalado que en la Función también se encontrarán dos distintos tipos de variables, las cuales han sido explicadas de la siguiente forma:

• Variable independiente: es conocida también como variable x. Su valor no depende de ninguna otra variable o término. Su tarea es someterse a la ecuación de la función, con el fin de determinar el valor de y.
• Variable dependiente: por su parte, en la Función también existe la variable dependiente o variable y, la cual se caracteriza por contar con un valor que depende totalmente –o se encuentra en función- del valor de x.

Dominio y rango de la función

Por último, también será necesario revisar los conceptos de Dominio y rango de la función, los cuales son entendidos como atributos de las variables de este tipo de relación entre conjuntos. Sin embargo, lo mejor será estudiarlos por separado:

• Dominio: en primer lugar, se abordará el concepto de Dominio, el cual ha sido explicado como los posibles valores que puede asumir la variable x de una función. Al respecto, las matemáticas resaltan que se afirma que el Dominio está conformado tan solo por los valores que puede asumir x, porque esta variable en realidad no puede asumir cualquier valor. Un ejemplo de esto puede ser el siguiente:

Suponiendo que la función sea y = √x  se ve entonces cómo x no podrá asumir ningún valor negativo, por lo que el Dominio no podrá contenerlos.

• Rango: por su parte, el Rango ha sido explicado por la disciplina matemática como el conjunto de valores que pueden ser asumidos por la variable y.

Intervalos

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar el concepto de Intervalos, los cuales son explicados como el conjunto de valores reales que existen entre dos números. Este concepto, aplicado a la función, se refiere entonces a los valores que puede tener el dominio de la relación.

Es decir, la variable x no puede asumir siempre todos los valores, sino que en determinados casos debe limitarse a un intervalo específico. Por ejemplo, suponiendo que la ecuación de la función sea la siguiente:

Se infiere entonces que el valor de x no puede ser superior a cuatro, puesto que de serlo daría como resultado un número negativo, lo cual arrojaría a su vez una solución inexistente, por lo que no es posible una raíz cuadrada con radicando negativo. Por ende, se asume que el valor de x puede ser 0, 1, 2, 3, 4. Esta realidad puede expresarse como un intervalo que indique que el valor de esta variable se encuentra entre 0 y 4.

Cómo expresar un intervalo

Sin embargo, al hablar de intervalos específicos surgen algunas dudas sobre si los números que sirven de límite participan o no del intervalo. Por consiguiente, las Matemáticas han señalado la forma específica en que debe expresarse cada uno de los casos que se den en relación a los intervalos. A continuación, una breve descripción sobre ellos:

Intervalos cerrados

El primer caso, que puede darse en los intervalos son los intervalos cerrados, es decir, cuando los valores que sirven de límite también deben ser considerados. Por ejemplo, si se tiene que el valor de x en una función determinada solo puede ser ejercido por los valores 0, 1, y 2, se tiene que el intervalo para el dominio se encuentra entre 0 y 2, con estos dos números incluidos.

Cuando se trata de expresar este tipo de intervalos, se hace uso de los corchetes, y se expresa el intervalo como un par conformado por los límites. En el caso de este ejemplo podría expresarse de la siguiente forma:

[0, 2

No obstante, también se podría expresar usando signos de menor o igual que y mayor o igual que, mostrando que la variable siempre puede tener valores que resulten iguales o mayores al primer límite, así como menores o iguales al segundo límite:

a≤ x ≤

Intervalos abiertos

Así mismo, entre los distintos tipos de intervalos que pueden encontrarse están los Intervalos abiertos, los cuales –a diferencia de los intervalos cerrados- no incluirán los límites. Es decir, que se tomarán para x tan solo los valores comprendidos entre ellos, pero no iguales. Esta tipo de intervalos se podrá expresar como un par, incluido entre paréntesis:

(a, b)

Empero, también podrá darse expresión a este intervalo por medio de los signos mayor y menor que, explicando entonces que x siempre tendrá un valor que resulte mayor al primer límite, pero menor al segundo:

a < x < b

Así mismo, algunas fuentes matemáticas señalan que los intervalos abiertos pueden expresarse por medio de corchetes inversos:

a,b[

Intervalos semiabiertos por la izquierda

Otro de los casos que pueden encontrarse cuando a intervalos se refiere es que los valores para x comprendan el segundo límite, pero no el primero de ellos, por lo que se habla de un intervalo abierto por la izquierda. En la expresión de esta clase de intervalos se usará una combinación del paréntesis y el corchete, señalando con el primer de estos signos entonces el límite que resulta abierto, es decir que no incluye el número que le sirve de referencia:

(a, b

Por igual, este tipo de intervalos pueden ser expresados también usando los signos de menor y mayor que. En este caso, se expresará que x siempre tendrá valores que resulten mayores a a, mientras que también asumirá valores que resulten menores o iguales a b:

a < x ≤ b

Intervalos semiabiertos por la derecha

También puede ocurrir que el intervalo que se quiere expresar resulta abierto por la derecha, o en otras palabras, que incluye el valor del primer límite pero no del segundo. En este caso, también se usará para expresarlo una combinación de signos. Se usará un corchete para el primer elemento, y un paréntesis para el segundo:

[a, b)

Sin embargo, la expresión de este intervalo también se podrá hacer usando los signos de menor y mayor que. En este caso, se señalará que x tiene siempre un valor que resulta mayor o igual al primer término, pero menor al segundo:

a ≤ x < b

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