Multiplicación de radicales de distinto índice

Quizás lo más conveniente, previo a abordar la definición de Multiplicación de raíces de igual índice, sea revisar la propia definición de Radicación, a fin de poder tener presente la verdadera naturaleza de la expresión matemática en base a la cual se produce esta operación.

La radicación

Por consiguiente, se puede comenzar por decir que las Matemáticas han definido de forma general la Radicación como una operación que sucede entre dos números, los cuales se relacionan por medio del signo radical (√) y que se establecen como meta deducir o encontrar un número que cumpla con la cualidad de que siempre que se multiplique por sí mismo, tantas veces como señale uno de los números involucrados, dé como resultado el otro de ellos.

Así mismo, algunos autores han señalado que la Radicación puede ser vista también como una operación inversa a la Potenciación, e incluso como una forma otra de expresar esta última.

Elementos de la Radicación

Por otro lado, la disciplina matemática define también la Radicación como una expresión u operación, constituida en base a tres elementos, cada uno de los cuales ha sido explicado de la siguiente manera:

  • Índice: en primer lugar, el Índice será entendido como uno de los dos números sobre los cuales ocurre la operación de Radicación. Cumple con la tarea de mostrarle a la Raíz cuál debe ser el exponente al que debe elevarse para dar como resultado el radicando.
  • Radicando: en cuanto a este elemento, es visto como el segundo número involucrado en la operación. Su función será señalarle a la Raíz cuál debe ser el resultado de su elevación a la potencia que señala el índice.
  • Raíz: finalmente, la Raíz será interpretada como el resultado final de la operación, es decir, que se encontrará constituido por aquel número que cumpla con la propiedad requerida de que al elevarse al índice, dé como resultado el radicando.

Multiplicación de raíces de diferente índice

Teniendo presente estas definiciones, es probable que sea mucho más sencillo aproximarse a la noción de Multiplicación de raíces de diferente índice, la cual ha sido definida por su parte como la operación que ocurre entre radicales de distinto índice, los cuales se relacionan para conseguir un producto final. Es decir, que en este procedimiento, los radicales, independientemente del valor de sus índices, se multiplican, dando un total en cuanto a sus cocientes y radicandos.

Pasos para resolver la Multiplicación de radicales de distinto índice

Sin embargo, las Matemáticas también advierten que en principio una multiplicación de radicales de diferente signo se considera matemáticamente imposible, por lo que es necesario seguir una serie de pasos, que le permitan a ambos radicales homologar sus respectivos índices, a fin de poder multiplicar finalmente sus distintos elementos. A continuación, un resumen de los procedimientos que deben realizarse para lograr multiplicar radicales de distintos índices:

  1. Una vez que se ha determinado que los radicales cuentan con índices diferentes, se procederá a calcular el mínimo común múltiplo de los índices de estos radicales.
  2. Obtenido este número, se asumirá como el nuevo índice. Paso seguido se buscará determinar cuál es el número por el cual se debe multiplicar cada índice para obtener el índice común.
  3. En cada caso, se multiplicará este número por los índices y los exponentes del radical.
  4. Teniendo igual índice, se reescribirá la operación. Las potencias de igual base, sumarán sus exponentes.
  5. Se sacarán de la raíz los elementos que puedan sacarse. Se resolverán el resto de las operaciones.

Ejemplo de Multiplicación de raíces de distinto índice

Sin embargo, puede que la forma más idónea de completar una explicación sobre la operación de Multiplicación de raíces de igual índice sea a través de un ejemplo, en el cual pueda verse de forma práctica cuáles son los procedimientos que deben cumplirse para la solución de este tipo de operaciones, tal como podrá verse a continuación:

Resolver la siguiente operación:

En este caso, lo primero que deberá hacerse es descomponer en números primos cada uno de los radicandos, a fin de simplificar las expresiones:

Hecho este paso, se puede rescribir entonces la operación:

Se procede entonces a sacar el mínimo común múltiplo de los dos índices:

Obtenido el nuevo índice, se calcula cuál es el número por el que debe multiplicarse cada índice para dar como resultado este nuevo número. Una vez hallado, se procede a multiplicar por él tanto los índices, como cada uno de los exponentes:

Una vez que se ha conseguido que los dos radicales tengan el mismo índice, se reescribirá la operación como un solo radical, colocando el mismo índice, y haciendo que los factores comunes sumen sus respectivos exponentes:

Llegado a ese punto, se procede a sacar la mayor cantidad posible de elementos, aun cuando deban expresarse primero como radicales individuales:

Se resuelve individualmente cada radical:

Se reagrupan los elementos, juntando cocientes con cocientes y radicales con radicales:

Se resuelve la operación de multiplicación entre los cocientes, y como cuentan con igual índice, se reescriben los radicales en uno solo:

Se procede a resolver cada potencia, así como el producto entre ellas:

Se toma este como el resultado final de la operación:

Imagen: pixabay.com

Multiplicación de radicales de distinto índice
noviembre 21, 2017

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