Operación de Diferencia (Álgebra de conjuntos)

Es probable que sea conveniente, previo a abordar la definición de la operación del Álgebra de Conjuntos, denominada Diferencia, que se revisen algunas nociones básicas sobre el Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto en base al cual tiene lugar esta operación.


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Conjunto

En este sentido, se puede comenzar diciendo entonces que las Matemáticas han definido al Conjunto como un objeto, constituido en base a un listado de elementos, entre los cuales se puede distinguir un factor común, es decir un mismo rasgo, el cual permite agrupar a estos elementos y considerarlos parte de la misma colección abstracta. Igualmente, esta disciplina señala que son estos elementos los que cumplen con la misión de definir –de forma única y exclusiva- al Conjunto, siendo ésta una de las características principales del Conjunto.

Notación de conjuntos

Así también, existe una norma sobre la forma correcta en que deben ser expresados los conjuntos, y que toma en cuenta básicamente tres normas específicas: la primera de ella señala que en todo momento, el Conjunto debe contar con un nombre equivalente a una letra mayúscula. En cuanto a sus elementos, las Matemáticas plantean que estos deben ir anotados en forma de lista o enumeración, siendo separados por una coma. Finalmente, la regla apunta a que los elementos del conjunto deben ir entre signos de llave: {}. Un ejemplo de cómo expresar un conjunto, puede ser una colección hecha en base a nombres propios femeninos:

A= {Luisa, Juana, Paola, Mery, Maigualida, Esther, Nidia}

Operación de Diferencia

Por su parte, la Diferencia es definida por el Álgebra de conjuntos como una operación que tienen lugar entre estos objetos, cuando dos colecciones establecen una Diferencia entre ellas, generando un tercer conjunto, conformado por todos aquellos elementos del primer conjunto que no encuentran semejante en el segundo conjunto. Es decir, que la Diferencia será la operación en donde un conjunto A se compara y diferencia de un conjunto B, dando como resultado un tercer conjunto (A \ B) en donde pueden contarse como elementos todos aquellos que se encuentran en A, pero que no tienen semejante en el conjunto B.

Notación de la operación de Diferencia

De igual manera, el Álgebra de Conjuntos ha señalado que esta operación –como toda operación matemática- cuenta también con su notación específica, la cual será asumida por una barra inversa o backslash (\)  que se colocará entre los nombres de los conjuntos que participan de la operación. No obstante, podría ser conveniente tomar conciencia sobre cada uno de los pasos que pueden contarse en la notación de este tipo de operaciones. A continuación, algunos de estos:

  • En primer lugar, una vez se hayan identificado los conjuntos que participarán de la operación, se deberá expresar ésta, usando la barra oblicua o inversa entre los nombres de ambos conjuntos: A\ B.
  • Esta expresión deberá venir acompañada por su parte con un signo de igual (=) que dará paso a la comparación de ambos conjuntos, los cuales irán relacionados igualmente por la barra invertida.
  • Una vez hecha la comparación, y determinados cuáles son los elementos de A que no aparecen en B, se opta por colocar nuevamente la expresión de esta operación, seguida de dos puntos, y entre signos de llaves la lista de elementos que se ha constituido como nuevo conjunto, y resultado de la operación de Diferencia entre los conjuntos A y B.
  • 4.- Algunas corrientes optan por expresar esta operación, colocando un guión entre los nombres de los conjuntos que participan de ella (A−B). Sin embargo, la mayor tendencia se da en torno a uso de la barra inclinada.

Ejemplo de operación de Diferencia entre conjuntos

No obstante, tal vez la forma más eficiente de explicar esta operación del Álgebra de Conjuntos sea acudiendo a un caso concreto, que pueda ser usado como ejemplo de este tipo de operación, y en donde además se pueda ver la puesta en práctica de lo que dicta la teoría, tal como puede verse en el siguiente ejercicio:

Dado un conjunto A, constituido por nombres masculinos que comienzan por la letra “p”: A= {Pablo, Pedro, Paris, Paul, Pascual, Pastor, Pánfilo} y un conjunto B, en donde puedan contarse como elementos nombres masculinos en general: B= {Armando, Camilo, Ernesto, Pablo, Pedro, Jesús, Alexis, Hugo, Antonio} realizar con ellos una operación de Diferencia:

Para dar cumplimiento a lo que se solicita en el postulado, será necesario entonces empezar expresando la operación:

A= {Pablo, Pedro, Paris, Paul, Pascual, Pastor, Pánfilo}
B= {Armando, Camilo, Ernesto, Pablo, Pedro, Jesús, Alexis, Hugo, Antonio}

A \ B=

{Pablo, Pedro, Paris, Paul, Pascual, Pastor, Pánfilo} \ {Armando, Camilo, Ernesto, Pablo, Pedro, Jesús, Alexis, Hugo, Antonio}

Hecho esto, se deberá proceder a comparar los elementos que existe en cada conjunto, creando entonces un tercer conjunto en donde puedan tenerse como elementos aquellos que perteneciendo a A no pueden encontrarse en el conjunto B:

A \ B= {Paris, Paul, Pascual, Pastor, Pánfilo}

No obstante, podría pasar también que la Diferencia solicitada no fuese A\B sino B\A en cuyo caso la operación se realizaría de la siguiente forma:

B\A=

{Armando, Camilo, Ernesto, Pablo, Pedro, Jesús, Alexis, Hugo, Antonio} \ {Pablo, Pedro, Paris, Paul, Pascual, Pastor, Pánfilo}

B\A= {Armando, Camilo, Ernesto, Jesús, Alexis, Hugo, Antonio}

Hecho del cual también se puede concluir que en el caso de la operación de Diferenciación entre conjuntos no puede hablarse de Propiedad Conmutativa, puesto que el orden de los conjuntos sí altera el producto, es decir, que el conjunto obtenido en ambos casos es diferente.

Imagen:

Operación de Diferencia (Álgebra de conjuntos)
junio 26, 2017

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