Papel del Conjunto vacío dentro del Álgebra de conjuntos

Es probable que lo más conveniente, previo a abordar el papel del Conjunto vacío dentro del Álgebra de Conjuntos, sea revisar de forma breve la propia definición de este tipo de Conjunto, a fin de tener presente su naturaleza.

Definición de Conjunto vacío

Por consiguiente, se puede comenzar por recordar que las Matemáticas definen al Conjunto como una colección abstracta, conformada y definida por elementos, entre los cuales se pueden identificar un rasgo en común, que permite entenderlos como una agrupación o colección. En consecuencia, el Conjunto vacío, de acuerdo a la definición que da el Álgebra de Conjuntos, será una colección dentro de la cual no pueda encontrarse ningún elemento. Por ende, se dice entonces que el Conjunto está vacío, puesto que no se pueden encontrar elementos dentro de él. La notación de este conjunto vendrá determinada por el signo ∅. No obstante, algunas corrientes matemáticas también optan por señalar este conjunto a través del uso de dos llaves vacías { } a pesar de que el uso del primer signo cuenta con más popularidad.

Papel del Conjunto vacío dentro del Álgebra de Conjuntos

Por otro lado, las distintas fuentes matemáticas han señalado que el Conjunto vacío puede ser considerado también como un tipo de conjunto que, dentro del Álgebra de Conjuntos, tiene la misión de ser equivalente al cero, es decir, que su papel dentro de las operaciones de conjuntos se asemeja a aquella que ejerce el cero en las operaciones matemáticas, por lo que puede establecerse como un elemento neutro, o llevar a la operación a dar como resultado el Conjunto vacío. Así mismo, en este sentido, el Álgebra de Conjuntos ha establecido también un grupo de propiedades matemáticas que se dan en relación a esta función o papel del Conjunto vacío en las operaciones entre conjuntos, y que pueden ser resumidas de la siguiente manera:

Sobre la calidad de subconjunto de A

En primer lugar, esta disciplina matemática indica que si se tiene un conjunto, en donde puedan contarse un grupo de elementos, en todo momento, se puede concluir que el Conjunto vacío también forma parte de este conjunto, es decir, que es un subconjunto. Por ende, siempre el Conjunto vació será considerado subconjunto de A:

∅⊆ A

Sobre la capacidad de ∅ de ser Elemento neutro

La operación en donde puede verse cómo  el Conjunto vacío cumple el papel de elemento neutro es la de la Unión. De esta manera, toda vez que un determinado conjunto establezca una operación de Unión (operación en donde dos conjuntos forman un tercer conjunto en donde pueden contarse la totalidad de elementos de ambos conjuntos) con el Conjunto vacío, el resultado será el mismo conjunto:

A ∪ ∅= A

Papel de ∅ en la Intersección

En contravía, el Álgebra de conjuntos distingue la operación de Intersección, en donde dos conjuntos dan origen a un tercer conjunto, conformado por aquellos elementos que pueden considerarse comunes a ambas colecciones. En el caso de que un conjunto establezca una operación de Intersección con el Conjunto vacío, no podrá encontrarse ningún elemento en común, por lo que el resultado será un conjunto sin elementos, es decir, e Conjunto vacío:

A ∪ ∅ = ∅

Papel de ∅ en el Producto cartesiano de conjuntos

Por último, el Álgebra de Conjuntos distingue una operación denominada Producto cartesiano, la cual es definida como la relación de multiplicación que surge entre dos conjuntos, dando como resultado un conjunto, conformado por los pares ordenados que se obtiene de multiplicar cada uno de los elementos del primer conjunto por los elementos de la segunda colección. Si esta operación se realizara entre un Conjunto y ∅ la respuesta sería siempre el propio Conjunto vacío, puesto que no se podría conseguir otros elementos con los cuales multiplicar los del primer conjunto, dando entonces como resultado un conjunto vacío:

A x ∅ = ∅

Imagen: pixabay.com

Papel del Conjunto vacío dentro del Álgebra de conjuntos
julio 20, 2017

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