Polinomio homogéneo

Matemáticas

Dentro del Álgebra elemental se considera al polinomio como una de las dos principales expresiones algebraicas, después del término, y que básicamente se puede considerar como una suma finita de monomios, en donde los exponentes de las variables son siempre números enteros positivos.

Partes de un polinomio

Por ende, el polinomio estará conformado por monomios –o términos algebraicos- los cuales a su vez están conformados por cuatro elementos, cada uno de los cuales cumplen con una misión específica, o develan al menos algún aspecto de la naturaleza del polinomio en sí. De esta forma, se puede decir entonces que cada monomio está conformado de la siguiente forma:

 

En donde, el signo –bien si en positivo (+) como negativo (-) servirá para develar la naturaleza del coeficiente. Así mismo, este segundo término, el coeficiente estará constituido siempre por un elemento numérico, cuya misión es indicar el número o cantidad por la que debe ser multiplicada la variable. Seguidamente, se encuentra el elemento literal, el cual estará siempre constituido por una letra, la cual se usa como representación de una cantidad que aún no se conoce. Finalmente, el exponente al que se encuentra elevada la variable representa el grado del monomio.

Al ser entonces una suma de monomios de exponentes positivos y enteros, más de algunos términos independientes (constituidos sólo por números que no se relacionan con ninguna variable) un polinomio podría entonces verse tal como luce el del ejemplo siguiente:

P(x)= 8x2 + xy + 3y + 4

Polinomio homogéneo

Entre las distintas funciones de cada uno de los elementos del término, el grado constituye uno de los más activos, pues además de indicar obviamente a qué grado pertenece un término o un polinomio sirve también para poder determinar que un polinomio es homogéneo o no. En este sentido, es pertinente también señalar, que el Álgebra elemental considera que un polinomio es homogéneo cuando todos los términos o monomios que los conforman cuentan con el mismo grado, es decir, los exponentes coinciden. No obstante, debido al número de variables que puede tener cada término, no siempre la detección de los grados y la identificación de un polinomio como homogéneo se hace tan inmediata. Por lo que resulta pertinente colocar algunos ejemplos de cómo debe determinarse si un polinomio es homogéneo o no. A continuación, algunos de ellos:

Polinomio homogéneo (una variable)

Los polinomios de una sola variable son fácilmente identificables a la hora de definir si se trata de un polinomio homogéneo o no, pues se deben observar simplemente los grados o exponentes de las distintas variables, a fin de determinar si estos coinciden o no. Por ejemplo:

Dado el siguiente polinomio:

P(x) = 3x2 + x2 – 4x2 – 5

Al hacer una rápida revisión, se puede detectar que todos los términos de este polinomio cuenta son de segundo grado, por lo que el polinomio puede ser detectado como un polinomio cuadrático (de segundo grado) y homogéneo, pues todos sus términos son cuadráticos.

Polinomio homogéneo (numerosas variables)

Sin embargo, también existen polinomios con términos que poseen varias variables, lo cual significa que los grados de los monomios no son tan explícitos como cuando se trata solo de un exponente, existiendo la necesidad de realizar ciertas operaciones antes de declarar el grado de un término, y comprobar si este coincide con los otros. Un ejemplo de esto sería el siguiente:

Dado el polinomio que se muestra a continuación:

P(x) = -3x3 + xy2 + 4xyz + y2z -6

Se pueden observar cómo algunos términos cuentan con la presencia de más de una variable, por lo que para determinar el grado de estos se hace necesario proceder a la suma de sus exponentes, recordando que cuando la variable no cuenta con un exponente explícito, se asume como la unidad:

P(x) = -3x3 + xy2 + 4xyz + y2z -6

xy2 → 1 + 2 = 3
4xyz → 1 + 1 + 1 = 3
y2z → 2+1= 3

De esta  forma, se puede determinar que todos los términos con numerosas variables son grado 3, lo cual coincide también con el primer término. Es decir, que todos los términos poseen grado tres, lo cual hace que esta expresión algebraica pueda ser identificada como un polinomio cúbico (de tercer grado) así también como homogéneo.

Imagen: pixabay.com

Polinomio homogéneo

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Bibliografía

El pensante (Abril 20, 2017). Polinomio homogéneo. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/polinomio-homogeneo/