Polinomio

Matemáticas

Dentro del Álgebra, existen dos expresiones algebraicas por excelencia: el término algebraico compuesto por una combinación de letras y números, sin que entre ellos existan operaciones de suma o resta; y el Polinomio, sucesión de varios monomios entre los cuales se establecen operaciones de suma.

Definición de Polinomio

Así las cosas, se puede decir entonces que el Polinomio es una expresión algebraica, en donde un número finito de monomios (expresión algebraica compuesta por un solo término algebraico) establece operaciones de suma (aunque también pueden establecer operaciones se sustracción y multiplicación, pero nunca de división) siendo el único requisito de sus variables o indeterminadas contar con grados o exponentes tanto positivos como pertenecientes a los números enteros, incluyendo el cero.

Elementos de un polinomio

Con respecto a los elementos que conforman un polinomio, la mejor forma de describirlos puede ser de lo general a lo específico, tomando como base la siguiente expresión, en donde se tiene un Polinomio de grado n, y variable x:

P(x) =  anxn+an-1xn-1+…….a3x3+a2x2+a1x+a0

El Monomio y sus elementos

De esta forma, lo primero que se distinguirá en un polinomio serán los monomios que lo conforman, los cuales son definidos como combinaciones de números y letras (elevadas a exponentes positivos y enteros) entre los cuales sólo son posibles operaciones de multiplicación, quedando por fuera las de suma, resta o división. Así mismo, el álgebra elemental ha señalado que el monomio es considerada una expresión algebraica elemental en donde se pueden distinguir cuatro elementos básicos, tal como los que se describen en la gráfica y las definiciones que se exponen a continuación:

  • Signo: El primer elemento de un término algebraico es el signo, pues es el que determinará la naturaleza del coeficiente. En el caso del Polinomio, aun cuando esté planteada una suma, cada término puede contar con su propio signo.
  • Coeficiente: al igual que en el término algebraico, el coeficiente del Polinomio será el elemento numérico, o número racional.
  • Variable o indeterminada: por su parte, este elemento sería equivalente al elemento literal del término algebraico, siendo constituida por una o varias letras, cuyo valor se deberá calcular, a través de la solución de la operación, por lo que en términos polinómicos recibe el nombre de variable o indeterminada, en caso de no poder conocerse.
  • Exponente: finalmente, se puede identificar al exponente de la variable, el cual debe corresponder a un número entero positivo, para que la expresión pueda ser considerada un polinomio, siendo además este elemento el que revela cuál es el grado del término, y por ende del polinomio.

El polinomio y sus elementos

Así mismo, el Álgebra elemental distingue en el polinomio, más allá de los monomios que lo componen, cuatro elementos fundamentales, los cuales cuentan también con su propia definición y misión dentro de la expresión, y que pueden ser graficados y explicados de la siguiente forma:

  • Términos: este nombre será usado para distinguir a cada uno de los sumandos que puedan identificarse dentro del polinomio, es decir, que la denominación “términos” englobará tanto a los monomios como los términos algebraicos.
  • Términos independientes: por su parte, los términos independientes serán aquellos en donde no pueda distinguirse una variable. Sin embargo, se asumirá que su grado es equivalente a cero.
  • Coeficientes: así mismo, los coeficientes del polinomio estarán conformados por los elementos numéricos que se encuentren acompañando las variables de cada uno de los monomios. Su función es señalar la cantidad por la que debe ser multiplicada la variable.
  • Grado: por último, el grado del polinomio será equivalente al máximo grado que pueda determinarse en los monomios que conforman el polinomio.

Cómo determinar el Grado de un polinomio

La forma de distinguir cuál es el grado de un término algebraico es observar el exponente al cual está elevado el elemento literal, lo cual podrá decir si el término es de primer grado, segundo grado o tercer grado. No obstante, en un Polinomio, al tratarse de varios monomios o términos puede haber distintos exponentes, por lo que por convención matemática, la forma de conocer el grado de un polinomio será determinar cuál es el exponente de máximo valor, tomándose a este entonces como el grado del polinomio. Por ejemplo, dada la expresión:

5x2 + x3 + 7x2 + 4 + 2x3 =

Se puede observar que la x, es decir la variable o indeterminada, cuenta con exponentes como 2 y 3. Al ser el 3 el máximo exponente de x, se concluye entonces que este Polinomio es de tercer grado. No obstante, también existen Polinomios de primer grado y de segundo, tal como se puede ver a continuación:

Ejemplo polinomio primer grado: 5x + 4 + 3x

Ejemplo polinomio segundo grado: 5x2 + 4 + 3x

Ejemplo  polinomio tercer grado: 5x3 +5x2 + 4 + 3x

Valor numérico de un polinomio

Así mismo, dentro de las Matemática, se conoce con el nombre de valor numérico de un polinomio, al valor que se consigue sustituyendo la variable o indeterminada –es decir, el elemento literal del término- por un número dado, a fin de desarrollar la operación aritmética que se plantea. Un ejemplo de esto puede ser el siguiente:

Dado el siguiente polinomio, se puede observar que se encuentra conformado por una sola variable, la cual será sustituida por el valor que se decida:

P(x) = 5x3 + 2 + 3x + 4x2

Suponiendo que se le quiera asignar el número 1 a la variable x, este debe ser declarado. Así mismo, se debe sustituir cada x por el uno.

P(1) = 5.13 + 2 + 3.1 + 4.12

Así mismo, se procederá a resolver las potencias planteadas, elevando la base al exponente que indica el término.

P (1) = 5.1 + 2 + 3 + 4.1

Seguidamente, se resolverán las operaciones de multiplicación que se planteen entre el coeficiente y el número que ha resultado de elevar al exponente el valor numérico que se le ha asignado a la variable:

P(1) = 5 + 2 + 3 + 4
P(1) = 14

En tal sentido, el valor numérico de este Polinomio será 14, en el caso de que x adquiera el valor de 1:

P(x) = 5x3 + 2 + 3x + 4x2 = 14

P(1) = 14

Nombres de polinomios

Así mismo, la cantidad de monomios –o términos algebraicos- determina igualmente el nombre del polinomio, pudiendo distinguirse entonces las diferentes denominaciones:

Monomio: cuando existe presencia solo de un monomio.

Binomio: cuando se cuenta con dos monomios.

Trinomio: en el caso de que existan tres monomios.

Polinomio: por lo general cuando el número de términos sobre pasa los tres.

Imagen: educacion.elpensante.com

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Bibliografía

El pensante (abril 18, 2017). Polinomio. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/polinomio/