Potencia de números complejos

Antes de abordar una explicación sobre la Potencia de números complejos, así como la forma correcta en que debe ser resuelta esta operación, puede que sea conveniente revisar brevemente algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento dentro de su justo contexto matemático.


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Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que resulte conveniente delimitar esta revisión teórica a seis definiciones específicas: Números reales, Números imaginarios, Números complejos, Módulo de un número complejo, argumento de un número complejo y Expresión de un número complejo de forma polar, por encontrarse directamente relacionados con la forma de dar solución a la potencia de un número complejo. A continuación, cada una de ellas:

Números reales

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado los Números reales como aquellos elementos que constituyen el conjunto R, y que se encuentran conformados por los Números racionales (en donde pueden contarse los Números positivos, los Números negativos y el cero) y los Números irracionales (aquellos números que no pueden ser expresados en forma de fracción, por contar con partes decimales infinitas). Así mismo, algunas fuentes matemáticas han señalado que en los Números reales pueden contarse también los números algebraicos y los números trascendentes.

Números imaginarios

En segundo lugar, será también de provecho lanzar luces sobre el concepto de Números imaginarios, los cuales han sido descritos como una especie de Números complejos, que presenta el Número real equivalente a cero. Este tipo de números pueden responder a la forma z= yi, en donde la y es entonces el Número real que resulta equivalente a cero.

Números complejos

Por su parte, los Números complejos han sido explicados como aquellos elementos que componen el conjunto numérico C, el cual es considerado como una extensión de los Números reales, relación que puede ser expresada de la siguiente forma: R ⊂ C, es decir, que el conjunto de los Números reales se encuentran contenidos en los Números complejos.

De igual forma, los Números complejos serán aquellos que han sido explicados como la suma de un Número real y un número matemático, elemento numérico que puede ser expresado entonces con la siguiente forma: z = a + bi. Así también las diferentes fuentes han señalado que los Números complejos resultan una herramienta de gran utilidad para el Álgebra, así como para otras disciplinas como por ejemplo las Matemáticas puras, las Matemáticas aplicadas, la Física y diferentes ramas de la ingeniería, entre otras.

Módulo del número complejo

Con respecto al Módulo de los números complejos, las distintas fuentes han señalado que este puede ser entendido como la distancia que existe entre el origen de coordenadas y el afijo de dicho número. El módulo del número complejo se representa a través de |z|. Así mismo, el Módulo z debe ser expresado de la siguiente manera:

Argumento de un número completo

Por su lado, la Trigonometría considera también el Argumento de un número complejo, el cual da cuenta sobre la medida del ángulo que crea el vector de este número con el eje real. Este atributo se representa por arg(z), y se expresaría de la siguiente manera:

Expresión polar de un número complejo

Con este nombre se conocerá la expresión trigonométrica del Número complejo, el cual será explicado entonces como la forma en donde se expresa el Módulo y el Argumento del número, por lo tanto tendrá la siguiente forma:  z = rarg

Potencia de números complejos

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea conveniente abordar una explicación sobre la Potencia de números complejos. Para esto se comenzará por decir que la Potenciación es una operación matemática que refiere a una multiplicación abreviada, en donde el número que sirve de base se debe multiplicar a sí mismo tantas veces como señala el número que le sirve como exponente.

Al momento de resolver este tipo de operaciones, cuando se trata de números complejos, entonces se cumplirán los siguientes pasos:

  • Se determina cuál es el argumento del número complejo.
  • Se determina también el módulo del número complejo.
  • Se eleva a la potencia indicada la expresión trigonométrica del número complejo.
  • Si se quisiera calcular la potencia a través de la forma polar, entonces se necesitaría tomar el módulo y el argumento y elevarlos al exponente requerido.

Imagen: pixabay.com

Potencia de números complejos
octubre 16, 2018

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