Problemas con ecuaciones

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, también se optará por delimitar esta revisión a dos nociones específicas: Ecuaciones y Problemas, por encontrarse directamente relacionados con el método que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Ecuaciones

De esta manera, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado las Ecuaciones como un tipo de Igualdad literal, en donde ocurre que el elemento literal constituye una incógnita, que cuenta solo con un posible valor, a fin de que la igualdad planteada originalmente se cumpla por completo. Un ejemplo de este tipo de expresión matemática será la siguiente:

x + 3 = 12

En este caso, se puede optar por sustituir el valor de x por distintos números, a fin de poder ver si la igualdad planteada se cumple en todos los casos, o si por el contrario tan solo ocurre con un valor en particular:

3 + 3 = 12 → 6 ≠ 12
4 + 3 = 12 → 7 ≠ 12
5 + 3 = 12 → 8 ≠ 12
12 + 3 = 12 → 15 ≠ 12
9 + 3 = 12 → 12 = 12

Al hacerlo, se puede ver entonces cómo la igualdad se cumple tan sólo cuando la x asume un valor igual a 9. Por ende, se trata de una Ecuación. Si por el contrario, la igualdad se hubiese podido cumplir con cualquier valor, entonces se diría que la igualdad literal es en realidad una Identidad.

Problemas matemáticos

En segunda instancia, será también importante lanzar luces sobre el concepto de Problemas matemáticos, los cuales han sido explicados, a grandes rasgos, por los distintos autores, como el procedimiento matemático, que se realiza a fin de despejar una incógnita, usando para esto otros elementos proporcionados en el planteamiento de la propia incógnita.

Por ende, dada una información específica, en donde sin embargo existe un elemento que no se conoce, se pueden realizar ciertas operaciones, dirigidas a precisar este elemento desconocido.

Así mismo, las Matemáticas señalan que pueden existir dos diferentes tipos de Problemas matemáticos, según la naturaleza de los elementos que los componen. A continuación, una breve descripción de estos tipos:

• Problemas aritméticos: conocidos así por resolverse a través del método aritmético, es decir, a través de operaciones que solo involucran elementos abstractos numéricos.
• Problemas algebraicos: por su lado, este tipo de problemas usarán el método algebraico, o en otras palabras, se valdrán de ecuaciones para su solución.

Problemas con ecuaciones

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre los Problemas con ecuaciones. En consecuencia, se puede decir que los Problemas con ecuaciones serán entendidos como aquellos ejercicios en donde se deberá despejar una incógnita usando el método algebraico, o dicho de otro modo, a través del uso de Ecuaciones.

Así también, las Matemáticas han señalado que este tipo de ejercicios, deberán resolverse usando una serie de pasos precisos, tal como se muestra a continuación:

1. En primer lugar, teniendo la información suministrada por el ejercicio, estos datos deben ser expresados en forma algebraica, proceso que se conoce entonces como planteamiento del problema.
2. Construida la igualdad literal o ecuación, se procede entonces a resolverla según sus características precisas. Este paso se conoce, por su lado, como Resolución.
3. Por último, una vez despejada la incógnita, se procede a comprobar si ciertamente se ha obtenido el resultado correcto. A este paso se le denomina Comprobación, o también Discusión.

Ejemplo de Problemas con ecuaciones

Sin embargo, tal vez la forma más eficiente de completar una explicación sobre los Problemas con ecuaciones, sea revisando brevemente un ejemplo concreto, que pueda ayudar a ver la forma correcta en que debe aplicarse cada uno de los pasos que involucra la resolución de este tipo de incógnitas matemáticas. A continuación, el siguiente ejercicio:

Problema 1

Alejandro tiene 29 años, mientras que su hija Maritza tiene 3. ¿Cuántos años deberán transcurrir para que en algún momento, en el futuro, Alejandro logre tener el triple de años que los que tenga su hija Maritza?

Al revisar este ejercicio, se puede observar que las incógnitas plantean el uso de elementos literales, por lo que entonces el problema no podrá ser resuelto por el método aritmético (sólo empleando números) sino que se deberá aplicar el método algebraico, es decir, empleando Ecuaciones.

En sintonía con esto, se cumplirá entonces el primer paso de todo problema de ecuaciones: el Planteamiento, proceso que implica traducir a un lenguaje algebraico los datos expuestos por el ejercicio:

Lo primero que se hará debe ser establecer cuál es la incógnita que debe despejarse, así como por cuál elemento literal se encontrará identificada. En este caso, se tendrá lo siguiente:

x = la cantidad de años que deben pasar para que Alejandro tenga el triple de años de su hija Maritza.

Por consiguiente, se deberá plantear cómo expresar algebraicamente cada elemento de la ecuación, los cuales representarán la Edad del padre y la Edad de la hija:

• Edad del padre: 29 + x (puesto que se deberá sumar la edad actual más los años que pasarán antes de que se establezca la relación de que la edad del padre sea el triple del de la hija)
• Edad de la hija: 3 + x (ya que este dato también deberá sumarse con el valor de la incógnita.

Teniendo estos datos, se procede entonces a plantear la Ecuación, la cual básicamente deberá decir que en x años la edad del padre será el triple de la edad de la hija:

29 + x = 3(3 + x)

Teniendo la ecuación planteada, se procede entonces a la resolución de esta igualdad literal:

29 + x = 3(3 + x)
29 + x = 9 + 3x
29 + x – 3x = 9
x – 3x = 9 – 29
-2x = -10
x = – 20 : -2
x = 10

Se obtiene entonces que la cantidad de años que deben ocurrir para que Alejandro tenga el triple de la edad de su hija Maritza son 10. Por último, se realiza la comprobación, para esto, se puede sustituir el valor de la x, en la ecuación original, y resolver la operación:

29 + x = 3(3 + x)
29 +10 = 3(3 + 10)
39 = 9 + 30
39 = 39

Entonces se considera algebraicamente comprobada esta ecuación. Por lo tanto, la solución del problema indica que en 10 años Alejandro tendrá un total de 39 años, los cuales serán el triple de los de su hija, que para ese entonces tendrá 13 años. Si se dividiera 39 entre 13, se obtendría como cociente 3:

39 : 13 = 3

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