Producto cartesiano de conjuntos

Matemáticas

Es probable, que sea de gran provecho, antes de avanzar sobre la definición de Producto Cartesiano de Conjuntos, revisar la propia definición de Conjunto, a fin de tener en claro el objeto matemático en torno al cual se da esta operación.

El Conjunto

En ese sentido, resulta conveniente decir que las distintas fuentes matemáticas coinciden en señalar al Conjunto como una agrupación de elementos, entre los cuales puede encontrarse o distinguirse un rasgo en común, de ahí que puedan ser concebidos como parte de una misma naturaleza, o vistos como una colección abstracta de elementos. Sin embargo, con el propósito de ampliar esta definición, quizás se deba reparar también en las principales características del conjunto, así como en las condiciones que las Matemáticas indican sobre su notación:

Características del conjunto

Con respecto a las características que pueden encontrarse de forma general en los conjuntos, independientemente de su tipo, las Matemáticas señalan tres, descritas de la siguiente manera:

  • El Conjunto se encuentra conformado por sus Elementos.
  • El conjunto se encuentra definido de forma única y exclusiva por sus Elementos.
  • Debido a que el conjunto se establece con respecto a un criterio de agrupación, que debe cumplir todo elemento que quiera unirse en el futuro, el Conjunto no corre el riesgo de cambiar en la medida en que incorpora elementos a su colección.

Notación del Conjunto

Por otro lado, también es importante destacar cuáles son los criterios bajo los cuales las Matemáticas señalan que debe expresarse el conjunto, es decir, la forma correcta en que este tipo de agrupación debe anotarse. En cuanto a esto, se indican también principales directrices:

  • El conjunto será nombrado según el nombre de una letra mayúscula.
  • Los Elementos del conjunto serán presentados en forma de listado, siendo separados por comas, como si de una enumeración se tratase.
  • Así mismo, los elementos del conjunto deberán estar contenidos dentro de dos signos de llaves { }.

Producto cartesiano (Álgebra de conjuntos)

Por su parte, el Producto cartesianos puede ser definido, en el ámbito del Álgebra de conjuntos, como una operación que ocurre entre dos colecciones, las cuales establecen una relación u operación de multiplicación, que dará como resultado un tercer conjunto A x B en donde se contarán como elementos los pares correspondientes (a, b) conformados por cada uno de los elementos de los conjuntos que participaron de la operación, teniendo cuidado de que el par que se obtiene como resultado en cada caso cuente con el elemento correspondiente al conjunto A en primer lugar, siendo seguido entonces del elemento de B que tenga lugar. En cuanto a la expresión matemática de esta operación, se puede tener la siguiente forma:

A x B= (a, b)

Ejemplo de Producto cartesiano de conjuntos

Sin embargo, puede que la forma más eficiente de explicar las operaciones relacionadas al Producto cartesiano entre dos conjuntos, sea  a través de la exposición de un ejemplo en concreto, en donde pueda verse claramente cada una de las operaciones que se establecen entre los elementos de cada colección, así como los pares que se obtienen como resultado, de cada uno de ellos, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, conformado por números: A= {1, 2, 3, 4, 5} y un conjunto B, constituido por figuras geométricas: B= {▲, ■, ●} someterlos a una operación de Producto cartesiano de conjuntos:

Para realizar esta operación, se deberá comenzar por expresar cada conjuntos, así como la operación que se realizará entre ellos:

A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {▲, ■, ●}

A x B=
A x B=  {1, 2, 3, 4, 5} x {▲, ■, ●}

Hecho esto, la operación se llevará a una galera, para que así sea mucho más sencillo apreciar cómo se forma cada uno de los pares. De esta manera, se colocarán los elementos del conjunto A en el eje horizontal, mientras que el vertical será destinado para los elementos del conjunto B. Los pares resultantes tendrán siempre al elemento del conjunto A en primer lugar, siendo seguido por el elemento del conjunto B:

Se comienzan a anotar de abajo hacia arriba, y de izquierda a derecha los pares determinados, teniendo cuidado de que estos vayan comprendidos dentro de paréntesis,  fin de señalar que se trata de pares:

A x B= {(1,▲), (1,■), (1,●), (2,▲), (2,■), (2,●), (3,▲), (3,■), (3,●), (4,▲), (4,■) ,(4,●) , (5,▲), (5, ■), (5, ●)}

Se obtendrá entonces un conjunto A x B, en donde puedan observarse todos los pares posibles, que pueden formarse al realizar la operación de Producto Cartesiano. Empero, se puede acotar que el uso de la galera tiene una razón práctica, pues permite ver mucho más clara la operación a revisar, sin embargo, el Producto Cartesiano se puede realizar colocando simplemente un conjunto frente a otro, y multiplicando cada elemento del primero por el segundo conjunto, anotando entonces los pares que se forman.

Imagen: 1.- pixabay.com / 2.- educacion.elpensante.com

Producto cartesiano de conjuntos

Bibliografía

El pensante (julio 12, 2017). Producto cartesiano de conjuntos. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/producto-cartesiano-de-conjuntos/