Producto de dos binomios conjugados

Uno de los tantos ejemplos de Productos notables, que las Matemáticas reconocen en cuanto a la factorización de polinomios, es el Producto de binomios conjugados. Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre esta regla matemática, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entenderla dentro de su justo contexto.


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Definiciones fundamentales

Por consiguiente, podrá también tomarse la decisión de delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Binomios conjugados y Productos notables, por encontrarse directamente relacionados al producto notable que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Binomios

De esta manera, se comenzará por decir que los Binomios han sido explicados, por las distintas fuentes, como una expresión algebraica, constituida por la suma o resta de dos monomios, es decir, de dos términos algebraicos, que se encuentran conformados por su parte por un elemento numérico y un elemento literal, entre los cuales solo es posible una operación de multiplicación, quedando exentas otras operaciones como la suma, la resta o la división.

En consecuencia, los Binomios pueden ser vistos igualmente como polinomios de dos términos. Un ejemplo de esta clase de expresión algebraica será la siguiente:

2x3 + 3y =

Binomios conjugados

Así también, será necesario pasar revista sobre el concepto de Binomios conjugados, los cuales han sido descritos por las Matemáticas como el par de binomios (expresiones algebraicas constituidas por la suma o resta de monomios) que coinciden en sus términos, diferenciándose sólo por el signo de uno de sus elementos. Un ejemplo de este tipo de binomio sería el siguiente:

(a + b)  y (a – b)

Productos notables

Finalmente, también se lanzarán luces sobre la definición de Productos notables, los cuales han sido explicados, por las distintas fuentes, como el conjunto de leyes matemáticas que permiten realizar de forma mucho más sencilla la Factorización de polinomios, es decir, el procedimiento por medio del cual se toma un polinomio o expresión algebraica, y se expresa como un producto.

De acuerdo a lo que señalan las distintas fuentes, los Productos notables permiten la realización de operaciones de multiplicación de polinomios, sin que sea necesario desarrollar la operación término por término, produciendo entonces un ahorro de tiempo considerable, así como una reducción en la posibilidad de la aparición de errores en esta clase de operación.

Producto de dos binomios conjugados

Toda vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre el Producto de dos binomios conjugados, el cual ha sido explicado, de forma general, como uno de los tantos productos notables, que existen en cuanto a la multiplicación de polinomios.

Desde una perspectiva mucho más específica, esta regla matemática indica que siempre que se esté frente a la multiplicación de dos binomios conjugados, es decir, en donde los términos coinciden, y parecen iguales, salvo que uno de ellos se diferencia por un signo, se deberá proceder multiplicando cada elemento del primer binomio por cada elemento del segundo binomio.

Al hacer esta multiplicación, la diferencia de signos que existen en los Binomios conjugados, producirá que algunos productos se anulen entre sí, dando siempre como resultado una diferencia –o resta- de monomios al cuadrado. Este producto notable puede expresarse de forma matemática de la siguiente manera:

(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ab – b2

a2ab + ab – b2 = a2 – b2

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

Ejemplo de producto de dos binomios conjugados

Sin embargo, puede que la forma más idónea de concluir una explicación sobre el Producto de dos binomios conjugados sea a través de la exposición de un ejemplo preciso, que permita ver cómo se debe proceder cada vez que se necesita determinar entonces el producto en este tipo de operaciones entre binomios conjugados. A continuación, el siguiente ejercicio:

Multiplicar los siguientes binomios

(x + 4) . (x – 4) =

Lo primero que deberá hacerse al querer resolver esta clase de operación será revisar entonces las características de los términos. Al hacerlo, se descubre que se trata de dos binomios, los cuales coinciden en cuanto a sus términos, salvo que dos de ellos, aun cuando tienen la misma cantidad, cuentan con signos distintos. Por lo tanto, se determina que se está ante una Multiplicación de binomios conjugados.

De esta manera, se determina que la multiplicación se hará obteniendo el producto de cada uno de los elementos del primer binomio por los elementos del segundo binomio:

(x + 4) . (x – 4) =

(x . x ) – 4 x + 4 x – (4 . 4) =

x2 – 4x + 4x – 16

Al llegar a este punto, se observa entonces que existen dos elementos que coinciden en cuanto a sus valores, pero que tienen signos contrarios, por lo que entonces al restarse dan cero, por lo que se pueden simplemente anular de la expresión algebraica obtenida:

x24x + 4x – 16 = x2 – 16

Es decir, se obtiene una resta o diferencia de cuadrados: el cuadrado del primer término, que resulta igual en ambos casos, y el cuadrado del segundo término, que se diferencia por sus signos. Entre ellos siempre quedará un signo menos. Esta regla hace que la multiplicación de estos binomios sea mucho más directa de obtener, por medio del producto notable, pues sería de la siguiente forma:

(x + 4) . (x – 4) =

(x)2 – (4)2 =

x2 – 16

Finalmente, se expresa entonces el producto de estos binomios conjugados:

(x + 4) . (x – 4) =  x2 – 16

Imagen: pixabay.com

Producto de dos binomios conjugados
agosto 21, 2019
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