Productos de tres binomios con un término en común

Entre los distintos Productos notables que reconocen las Matemáticas, se encuentra el de Tres binomios con un factor común. Sin embargo, previo a abordar una explicación sobre él, se revisarán algunas definiciones, que de seguro permitirán entender esta regla matemática dentro de su justo contexto.


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Definiciones fundamentales

Así mismo, se decidirá también delimitar esta revisión teórica a tres nociones específicas: Binomios, Factor común y Productos notables, por encontrarse directamente relacionados con la Ley matemática que se estudiará posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Binomios

En consecuencia, se comenzará por decir que las Matemáticas han explicado los Binomios como polinomios constituidos por dos términos o monomios, es decir, por dos términos algebraicos que se caracterizan por estar conformados por un elemento numérico y un elemento literal, entre los que sólo puede caber la operación de la multiplicación, quedando excentas la suma, la resta y la división.

Al ser entonces un polinomio, en los Binomios, los monomios que se interrelacionan pueden sostener entre ellos, a su vez, operaciones de suma o de resta. A continuación, un ejemplo de monomio:

-2x3 + 7y =

Factor común

En segunda instancia, será igualmente necesario lanzar luces sobre el concepto de Factor común, el cual ha sido explicado entonces como una de las principales propiedades matemáticas que existen en cuanto a la multiplicación.

De forma  mucho más precisa, el Factor común es explicado igualmente como una propiedad, inversa a la Propiedad distributiva, que reza que toda vez que un elemento se encuentra multiplicando la suma de dos o más elementos, entonces el producto resulta igual a la suma del producto de este elemento por cada uno de los sumandos. Esta propiedad puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

c . (a + b) = c.a + c.b

Productos notables

Así mismo, se pasará revista sobre el concepto de Productos notables, los cuales han sido descritos por las distintas fuentes como un conjunto de leyes matemáticas, orientadas hacia el proceso de Factorización, es decir, al procedimiento de convertir una expresión algebraica o polinomio en un producto.

Igualmente, las Matemáticas han señalado que los Productos notables tienen como misión permitir la multiplicación de polinomios, de forma directa y rápida, sin que se corra el riesgo de cometer errores en el proceso de tener que procesar cada uno de los elementos, ahorrando además tiempo valioso al desarrollar operaciones de multiplicación con este tipo de expresiones algebraicas.

Producto de tres binomios con un factor común

Una vez se han revisado estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre el Producto de tres binomios con un factor común, el cual ha sido explicado, a grandes rasgos, como uno de los principales Productos notables, que existen en relación a la factorización de polinomios.

Desde una perspectiva mucho más exacta, las distintas fuentes señalan que el Producto de tres binomios con un factor común es una ley matemática, que indica que siempre que tres binomios se encuentren multiplicándose entre sí, y en los tres pueda distinguirse un factor común, entonces el producto de esta multiplicación será igual a el factor común al cubo, más el producto del factor común al cuadrado por la suma de los otro tres elementos, más el producto del factor común sin elevarse al cuadrado por la suma de los elementos no comunes, más el producto de los elementos no comunes. Esta propiedad puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:

(x+a) . (x+b) . (x+c) = x3 + (a+b+c) . x2 + (a+b+c) . x + abc

 Ejemplo de Producto de tres binomios con factor común

Sin embargo, puede que la forma más idónea de cerrar una explicación sobre este producto notable sea ofrecer un ejemplo de cómo se debe proceder toda vez que se esté ante la necesidad de multiplicar tres binomios, en los que pueda identificarse un factor común. A continuación, el siguiente ejercicio:

Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas:

(x + 2) . (x + 3) . (x + 4) =

Antes de comenzar con la resolución de esta multiplicación, se revisan los elementos, a fin de evaluarlos. Al hacerlo, se encuentra entonces que se trata de la multiplicación de tres binomios. Además en ellos tres se puede encontrar repetida la x, por lo que se dice entonces que se trata de encontrar el Producto de tres binomios con un factor común. Por ende, para hacer la multiplicación se puede hacer uso de lo que dictan las matemáticas al respecto, es decir, del producto notable correspondiente.

Por ende, esta multiplicación dará como resultado el cubo del factor común, más la suma de los elementos no comunes por el factor común al cuadrado, más la suma de los elementos no comunes por el factor común, más el producto de los tres elementos no comunes:

(x + 2) . (x + 3) . (x + 4) =

x3 + (2 + 3 + 4) . x2 + (2 + 3 + 4) . x + (2 . 3. 4) =

x3 + (9) . x2 + (9) x + 24 =

x3 + 9x2 + 9x + 24

Finalmente, se debe expresar el resultado de la multiplicación de los binomios. Es importante señalar que al hacer estas multiplicaciones y sumas deben tomarse también en cuenta el signo de cada elemento, el cual deberá ser procesado según la ley de signos.

Imagen: pixabay.com

Productos de tres binomios con un término en común
agosto 17, 2019
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