Propiedad asociativa en la Diferencia simétrica

Definiciones fundamentales

En este sentido, surge como necesario comenzar por el concepto de Conjunto, a fin de precisar la naturaleza del objeto en base al cual tiene lugar la Diferencia simétrica. Así mismo, resulta pertinente que se pase revista sobre la propia definición de Diferencia simétrica pues así se podrá tener claro el contexto en el cual se inserta esta propiedad matemática. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

De esta manera, se puede decir entonces que las Matemáticas han definido al Conjunto como una colección abstracta de elementos, en los cuales puede distinguirse un rasgo en común, es decir, que todos los elementos que conforman este objeto pueden ser considerados parte de la misma naturaleza, de ahí que se les tome como un conjunto. Igualmente, esta disciplina ha señalado que en el Conjunto, los elementos que lo constituyen son los únicos con la propiedad de definirlo, de forma única y exclusiva. En cuanto a la notación de este tipo de objetos matemáticos, esta disciplina también señala que los conjuntos deberán ser nombrados según una letra mayúscula, al tiempo de que sus elementos irán dispuestos como un listado, separados por comas y encerrados entre signos de llaves { }.

Diferencia simétrica

Por otro lado, el Álgebra de conjuntos se ha dado también a la tarea de definir la Diferencia simétrica, explicándola como una operación básica, en donde dos conjuntos conforman una tercera colección, en la cual se cuentan como elementos todos aquellos que estando en el primero no aparecen en el segundo, así también como todos aquellos elementos que teniendo presencia en el segundo conjunto no aparecen en el primero de ellos. En otras palabras, la Diferencia Simétrica plantea que en el momento en que un conjunto A y un conjunto B participan de esta operación, se creará un conjunto A∆B= en donde aparecerán como elementos aquellos que pertenecen a A y no a B, así también como aquellos elementos que están en B, pero no en A.

Propiedad asociativa en la Diferencia simétrica

Teniendo estas definiciones presentes, será mucho más sencillo abordar la definición de Propiedad asociativa que puede encontrarse en la Diferencia simétrica, y que según el Álgebra de Conjuntos podría explicarse como una Ley matemática que reza que en una operación de Diferencia Simétrica, en donde intervenga tres conjuntos, no importa el orden de las asociaciones que se presenten entre ellos, pues siempre se llegará al mismo resultado. De igual forma, esta disciplina ha señalado que esta Propiedad matemática puede ser expresada de la siguiente manera:

(A∆B)∆C = A∆(B∆C)

Ejemplo de la Propiedad asociativa en la Diferencia simétrica

No obstante, quizás la forma más eficiente de explicar esta Propiedad matemática sea a través de la exposición de un caso concreto, que venga a ejemplificar cómo se cumple esta propiedad en una operación de Diferencia simétrica. A continuación, un ejemplo:

Dado un conjunto A, en donde se puedan contar como elementos nombres femenino que comienzan por la letra “f”: A= {Federica, Fabiana, Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Flor, Filomena}; un conjunto B, constituido por nombres femeninos que terminan en “a”: B= {Amanda, Federica, Fabiana, Maritza, Anastasia, Filomena} y un conjunto C, conformado por nombres femeninos en general: C= {Teresa, Federica, Flor, Filomena, Paola, Mariana, Trinidad} comprobar cómo se cumple la Propiedad Asociativa en la Diferencia simétrica

Para dar cumplimiento a esta solicitud, se deberá plantear cada una de las distintas asociaciones posibles entre estos tres conjuntos, a fin de resolverlas y descubrir si realmente conducen a resultados iguales:

A= {Federica, Fabiana, Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Flor, Filomena}
B= {Amanda, Federica, Fabiana, Maritza, Anastasia, Filomena}
C= {Teresa, Federica, Flor, Filomena, Paola, Mariana, Trinidad}

(A∆B)∆C = A∆(B∆C)

Primera asociación: (A∆B)∆C =

A∆B= {Federica, Fabiana, Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Flor, Filomena} ∆ {Amanda, Federica, Fabiana, Maritza, Anastasia, Filomena}
A∆B= {Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Flor, Amanda, Maritza, Anastasia}

(A∆B)∆C= {Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Flor, Amanda, Maritza, Anastasia} ∆ {Teresa, Federica, Flor, Filomena, Paola, Mariana, Trinidad}
(A∆B)∆C= {Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Amanda, Maritza, Anastasia, Teresa, Federica, Filomena, Paola, Mariana Trinidad}

Segunda asociación: A∆(B∆C)=

B∆C= {Amanda, Federica, Fabiana, Maritza, Anastasia, Filomena} ∆ {Teresa, Federica, Flor, Filomena, Paola, Mariana, Trinidad}
B∆C= {Amanda, Fabiana, Maritza, Anastasia, Teresa, Flor, Paola, Mariana, Trinidad}

A∆(B∆C)= {Federica, Fabiana, Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Flor, Filomena} ∆ {Amanda, Fabiana, Maritza, Anastasia, Teresa, Flor, Paola, Mariana, Trinidad}

Finalmente, se comparan ambos resultados, con el objetivo de ver si –independientemente del orden que pueda observarse en ellos, se pueden identificar iguales elementos. En este caso, ambas asociaciones conducen a iguales resultados:

A∆(B∆C)= {Federica, Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Filomena, Amanda, Maritza, Anastasia, Teresa, Paola, Mariana, Trinidad}
(A∆B)∆C= {Fabiola, Fanny, Farrah, Felicitas, Amanda, Maritza, Anastasia, Teresa, Federica, Filomena, Paola, Mariana Trinidad}

Por lo tanto, en este ejemplo, queda demostrada la Propiedad asociativa en la Diferencia Simétrica:

(A∆B)∆C = A∆(B∆C)

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