Propiedad asociativa en la Multiplicación

Tal vez la forma más idónea de aproximarse a una explicación sobre la Propiedad Asociativa de la Multiplicación, sea deteniéndose un momento sobre la definición misma de esta operación, a fin de que esta Ley sea entendida en su contexto matemático preciso.

La multiplicación

En este orden de idas, será pertinente comenzar a decir entonces que la mayoría de fuentes coinciden en señalar a la Multiplicación como una de las operaciones básicas de la Aritmética, la cual consiste en la suma que hace un número determinado sobre sí mismo, tantas veces como indique un según número, con la finalidad de hallar el resultado correcto a este operación, de ahí que para algunos autores la Multiplicación pueda ser explicada también como una suma abreviada, pues sus factores básicamente expresan en síntesis la extensa suma a la que pueden hacer referencia. Sin embargo, quizás la mejor forma de explicar en qué consiste realmente la operación de Multiplicación sea a través de un ejemplo gráfico, en donde se puedan ver con claridad los distintos procedimientos:

Suponiendo que se tienen 2 círculos: ○○, y se quiere multiplicar dicha cantidad por 4, se deberá proceder a realizar una operación en donde la cantidad de círculos mencionada se sume a sí misma un total de cuatro veces:

2 x 4 =  ○○ x ○○○○ =  ○○ + ○○ + ○○ + ○○=  ○○○○○○○○

De esta manera, si los 2 círculos se suman a sí mismo 4 veces, como indicaba el segundo factor, se obtendrá un total de 8 círculos. Por ende, se concluye entonces que 2 x 4= 8.

Elementos de la Multiplicación

Otro aspecto de gran importancia en cuanto a la Multiplicación serán los elementos que la constituye, los cuales –de acuerdo a lo que señalan varias fuentes- pueden ser contados en tres o cuatro, número que variará según la complejidad de los números involucrados, y que serán definidos entonces de la siguiente manera:

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  • Factores: entendidos como cada uno de los números que participan de la multiplicación, es decir, tanto el número que deberá sumarse a sí mismo, como aquel que señala cuántas veces debe ocurrir dicha suma.
  • Productos intermedios: así mismo, en caso de que los factores que se multipliquen posean más de una cifra, se deberá realizar la operación de forma vertical, a fin de que cada una de las cifras del segundo factor pueda multiplicar a cada una de las cifras del primero. Esto irá originando resultados parciales, o productos intermedios, los cuales se anotarán igualmente en sentido vertical, a fin de sumarse finalmente.
  • Producto: interpretado como el resultado final de la operación, bien si procede de forma directa de la multiplicación de los factores, o si es el resultado del total de la suma de los distintos Productos intermedios.
  • Signo: por último el signo es tomado por la mayoría de los autores como un elemento más de la Multiplicación. Recibe el nombre de Por, siendo representado en algunos casos con el signo x, y en algunos otros con un punto (.). En términos generales, su misión es señalar precisamente que entre los números que se relacionan ocurre una operación de multiplicación.

Propiedad Asociativa de Multiplicación

De igual forma, como toda operación matemática, la Multiplicación responde a una serie de leyes o propiedades, las cuales rigen la forma en que se relacionan sus elementos, o incluso funciona la propia operación. Un ejemplo de ello lo constituye la Propiedad Asociativa, ley matemática que vienen a indicar que siempre y en todo caso que se produzca una multiplicación entre tres o más factores, estos podrán asociarse o agruparse de formas distintas, sin que ello se traduzca en una alteración al producto final. Por consiguiente, los factores de una multiplicación pueden establecer distintas asociaciones sin que esto produzca un cambio en el resultado o producto. Esta Ley podrá ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

(a x b) x c =  a x (b x c)

Ejemplos de la Propiedad Asociativa en la Multiplicación

Empero puede que la forma más eficiente de completar una explicación sobre la Propiedad Asociativa en la Multiplicación sea a través de la exposición de algunos ejemplos, que permitan ver de cerca cómo los distintos factores de una operación de este tipo pueden asociarse de formas distintas sin que esto genere productos diferentes, tal como se ve seguidamente:

Operación: 5 x 4 x 2=
Primera asociación:  (5 x 4) x 2 =  (20) x 2 = 40
Segunda asociación:  5 x (4 x 2)=  5 x (8) = 40

Operación: 3 x 5 x 6 x 2=
Primera asociación: (3 x 5) x 6 x 2=  15 x 6 x 2 →  (15 x 6) x 2=  90 x 2 = 180
Segunda asociación: 3 x (5 x 6) x 2=  3 x 30 x 2 → 3 x (30 x 2) = 3 x 60 = 180
Tercera asociación:  3 x 5 x (6 x 2) = 15 x 12= 180

Operación: 2 x 10 x 3 x 5 x 9 =
Primera asociación: (2 x 10 x 3) x 5 x 9=  60 x 45= 2.700
Segunda asociación: 2 x (10 x 3 x 5) x 9=  2 x 150 x 9 → (2 x 150) x 9 = 300 x 9= 2.700
Tercera asociación:  2 x 10 x (3 x 5 x 9)=  2 x 10 x (135) →  2 x (10x 135) = 2 x 1.350 = 2.700

Imagen: pixabay.com

Propiedad asociativa en la Multiplicación
septiembre 30, 2017