Propiedad asociativa en la Unión de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, pareciera entonces conveniente traer a colación la definición de Conjuntos, a fin de que se tenga mucha más clara la naturaleza de los objetos en base a los cuales se puede realizar la operación de Unión de Conjuntos, así mismo será necesario exponer la definición de esta operación, pues es en ella en donde puede observarse la Propiedad Asociativa. A continuación, los conceptos:

Conjunto

De esta forma, se puede comenzar por decir que las distintas fuentes teóricas coinciden en señalar que el Conjunto es un objeto, constituido en base a una serie de elementos, entre los cuales puede identificarse un rasgo en común, es decir, que se pueden considerar como parte de una misma colección, que se ha formado a su vez en base a un criterio de agrupación, en el que todos los elementos coinciden. Así mismo, las Matemáticas señalan que los Conjuntos cuenta con una notación específica, que indica que estos objetos reciben el nombre de una letra mayúscula, mientras que sus objetos deben ser presentados en forma de lista, separados por una coma, y contenidos entre dos llaves {}.

Unión de Conjuntos

Por su parte, la Unión de Conjuntos es concebida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en donde dos o más conjuntos –como el nombre de esta operación indica- se unen, dando origen a un conjunto en donde se pueden encontrar todos y cada uno de los elementos que conformaban los conjuntos que participaron en esta operación. De igual forma, la teoría matemática ha señalado, en cuanto a la notación inherente a esta operación, que el signo de Unión de conjunto está representado por ∪, mientras que la forma de expresar la propia operación, será la siguiente:

A ∪ B = │A│ + │B│

Propiedad Asociativa (Unión de Conjuntos)

En consecuencia, una vez revisadas estas definiciones, será mucho más sencillo entender la terminología que comprende la definición de la Propiedad Asociativa en la Unión de Conjuntos, ley esta que se cumple en esta operación del Álgebra de Conjuntos, y que es enfática en decir que en la operación de unión en donde estén relacionados dos o más objetos, no importan las distintas asociaciones que puedan ir creándose entre los conjuntos, pues finalmente se obtendrá, sin afectación alguna un conjunto general en donde se encuentre la totalidad de los elementos que conformaban los conjuntos involucrados en la operación. Visto de forma matemática, la Propiedad Asociativa puede expresarse a su vez de la siguiente forma:

(A ∪ B) ∪ C =   A ∪ (B ∪ C)

Ejemplos

No obstante, quizás la forma más eficiente para explicar el cómo se cumple esta propiedad en la operación de Unión de conjuntos, en la cual puede observarse cómo el orden de las asociaciones no altera el producto de la unión entre conjuntos, sea a través de la exposición de un caso concreto, en donde pueda verse en la práctica lo que la teoría dicta al respecto. A continuación, uno de ellos:

Dado un conjunto A, conformado por flores cuyo nombre comiencen por la letra “m”:  A= {Magnolia, Margarita, Maravillas, Morning Glory}; un conjunto B, constituido por flores cuyo nombre comienzan por la letra “a”:   B= {Amapola, Amarilis, Anémona, Aquilegia}; y un elemento C, en donde puedan encontrarse como elementos flores, cuyo nombre comienza por la letra “c”:  C= {Callas, Caléndula, Clavel, Crisantemo} comprobar si entre ellos se cumple realmente la Propiedad Asociativa en la operación de Unión de conjuntos.

Para esto, será necesario entonces realizar la Unión de conjuntos, marcando las posibles asociaciones que se presentan entre ellos, tal como se puede ver a continuación:

A= {Magnolia, Margarita, Maravillas, Morning Glory}
B= {Amapola, Amarilis, Anémona, Aquilegia}
C= {Callas, Caléndula, Clavel, Crisantemo}

Primera asociación posible: (A ∪ B) ∪ C=

(A ∪ B) ∪ C =  {Magnolia, Margarita, Maravillas, Morning Glory, Amapola, Amarilis, Anémona, Aquilegia} ∪ {Callas, Caléndula, Clavel, Crisantemo}

(A ∪ B) ∪ C = {Magnolia, Margarita, Maravillas, Morning Glory, Amapola, Amarilis, Anémona, Aquilegia, Callas, Caléndula, Clavel, Crisantemo}

Segunda asociación posible: A ∪ (B ∪ C) =

A ∪ (B ∪ C) = {Magnolia, Margarita, Maravillas, Morning Glory} ∪ {Amapola, Amarilis, Anémona, Aquilegia, Callas, Caléndula, Clavel, Crisantemo}

A ∪ (B ∪ C) = {Magnolia, Margarita, Maravillas, Morning Glory, Amapola, Amarilis, Anémona, Aquilegia, Callas, Caléndula, Clavel, Crisantemo}

Como puede verse, a pesar de las disposiciones distintas que pueden verse en los conjuntos resultantes en cada una de las operaciones, realizadas acorde a distintas asociaciones, estos cuentan de forma total con los mismos elementos, tanto en número como en identidad, que puede verse individualmente en cada conjunto, por lo que se estaría comprobando realmente que la Propiedad Asociativa se cumple en las operaciones de Unión de conjuntos, o para usar una expresión matemática, que en esta Unión, realizada en base a estos tres conjuntos, realmente se cumplió la siguiente expresión:

(A ∪ B) ∪ C =   A ∪ (B ∪ C)

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