Propiedad conmutativa en la Intersección de conjuntos

Tal vez lo mejor, previo a abordar la Propiedad Conmutativa que puede observarse en la operación de Intersección de conjuntos, sea necesario revisar algunas definiciones, que pueden resultar imprescindibles a la hora de entender esta propiedad en su contexto adecuado.


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Definiciones fundamentales

Por consiguiente, quizás debe empezar por abordarse el concepto de Conjunto, a fin de que se pueda tener presente el tipo de objeto en base al cual se realiza la Intersección de conjuntos, así como de esta operación, ya que es en ella donde tiene lugar esta Propiedad Conmutativa. A continuación, algunos conceptos:

Conjunto

En este sentido, se puede comenzar por señalar que la Matemática se ha dado a la tarea de definir el Conjunto como una colección abstracta de elementos entre los cuales puede encontrarse un rasgo en común, y que además cumplen con la misión de definir y conformar al conjunto de forma única y exclusiva. Así mismo, esta disciplina ha indicado que los conjuntos deben responder a la siguiente notación: los nombres de estos objetos estarán dados por letras mayúsculas; sus elementos estarán contenidos por signos de llaves {} mientras que se presentarán en forma de listado, siendo separados por una coma.

Intersección de conjuntos

Igualmente, es necesario traer a capítulo la definición de Intersección, la cual ha sido señalada por el Álgebra de conjuntos como una operación básica, la cual tiene lugar cuando dos conjuntos establecen –como su nombre lo indica- una intersección entre ellos, dando lugar a una colección, en donde pueden contarse elementos que resultan comunes a los conjuntos que han participado de la operación. En otras palabras, cuando un conjunto A establece una intersección con un conjunto B se crea un conjunto A∩B conformado por aquellos elementos que pueden encontrarse tanto en A como en B, lo cual hace también a este nuevo conjunto, subconjunto de estas colecciones. En cuanto a su forma de expresarse matemáticamente, esta disciplina matemática señala que la Intersección de conjuntos puede responder a la siguiente forma:

A∩B=

Propiedad Conmutativa en la Intersección de conjuntos

Vistas estas definiciones será mucho más sencillo aproximarse entonces a la Propiedad conmutativa que, según lo que señala el Álgebra de conjuntos, puede verse en la Intersección de conjuntos, y que viene a dictar que al realizar esta operación, realmente no importa el orden en el que se presenten los conjuntos, puesto que el conjunto resultante, aun cuando pueda presentar órdenes distintos contará con exactamente los mismos elementos. Así mismo, esta propiedad matemática inherente a la Intersección de conjuntos puede ser expresada de la siguiente manera:

A ∩ B = B ∩ A

Ejemplo de Propiedad Conmutativa en la Intersección

No obstante, quizás la forma más eficiente de explicar el cómo se cumple realmente esta propiedad en la práctica sea a través de la exposición de un caso concreto, que pueda servir de ejemplo a esta propiedad matemática de la Intersección de conjuntos. A continuación, uno de ellos:

Dado un conjunto A, conformado por animales cuyos nombres comiencen por la letra “l”: A= {Loro, León, Lince, Lechuza, Langosta, Lombriz, Leopardo} y un conjunto B en donde puedan contarse como elementos, animales cuadrúpedos: B= {León, Perro, Gato, Tigre, Lince, Leopardo, Vaca, Elefante} establecer una operación de Intersección, a fin de comprobar también si se cumple o no la Propiedad Conmutativa en esta operación:

Para cumplir con la misión que solicita el postulado, será necesario entonces realizar la operación de Intersección en los dos órdenes posibles, para ver si se obtienen iguales resultados, más allá de la alteración en los factores:

Primer orden:

A= {Loro, León, Lince, Lechuza, Langosta, Lombriz, Leopardo}
B= {León, Perro, Gato, Tigre, Lince, Leopardo, Vaca, Elefante}

A ∩ B=

A ∩ B= {Loro, León, Lince, Lechuza, Langosta, Lombriz, Leopardo} ∩ {León, Perro, Gato, Tigre, Lince, Leopardo, Vaca, Elefante}

A ∩ B= {León, Lince, Leopardo}

Segundo orden:

A= {Loro, León, Lince, Lechuza, Langosta, Lombriz, Leopardo}
B= {León, Perro, Gato, Tigre, Lince, Leopardo, Vaca, Elefante}

B ∩ A=

B ∩ A= {Loro, León, Lince, Lechuza, Langosta, Lombriz, Leopardo} ∩ {León, Perro, Gato, Tigre, Lince, Leopardo, Vaca, Elefante}

B ∩ A= { León, Lince, Leopardo}

Al hacerlo, se puede comprobar efectivamente que en verdad el orden en que se presenten los conjuntos que participan de la operación de Intersección de conjuntos, en realidad no afecta para nada el conjunto resultante de esta operación, por ende:

A ∩ B = B ∩ A

Imagen: pixabay.com

Propiedad conmutativa en la Intersección de conjuntos
junio 24, 2017

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