Propiedad de A como subconjunto de U

Quizás lo mejor, antes de estudiar la Propiedad que específica que todo conjunto dado es subconjunto de su Conjunto Universal, sea revisar algunas definiciones necesarias para entender esta ley matemática dentro de su contexto adecuado.

Definiciones fundamentales

En este sentido, será necesario comenzar por revisar la propia definición de Conjunto, a fin de entender la naturaleza del objeto matemático respecto al cual se establece posteriormente la denominación de Conjunto Universal. Así mismo, será necesario traer a capítulo este último concepto, por ser la clase de conjunto sobre la cual se da la propiedad del conjunto dado como subconjunto. A continuación, cada una de las definiciones:

Conjunto

De esta manera, se puede decir que las Matemáticas, en líneas generales, definen al Conjunto como una agrupación de elementos entre los cuales se puede distinguir una sola naturaleza, es decir, que todos y cada uno de ellos tienen entre sí al menos un rasgo en común, de ahí que sean entendidos también como una colección abstracta. Por otro lado, las Matemáticas también han indicado que el Conjunto responde a una característica principal: la de estar conformada y definida, de forma única y exclusiva por sus elementos. En cuanto a su notación, esta disciplina también señala que en todo momento el Conjunto deberá ser nombrado de acuerdo a alguna letra mayúscula del alfabeto, mientras sus elementos serán expresados como una numeración, separados por comas, y encerrados entre llaves {}.

Conjunto Universal

Así también, las Matemáticas se han dado a la tarea de definir el Conjunto Universal, el cual ha sido entendido entonces como la colección en donde se encuentran contenidos de forma plena, la totalidad de elementos de un contexto específico, por lo cual también a este conjunto se le conoce en ocasiones como Conjunto referencial, pues puede ser usado como referencia en determinados ejercicios o situaciones, un ejemplo de ello ocurre en las operaciones destinadas a encontrar el Conjunto complementario. Con respecto a su notación, el Álgebra de Conjuntos señala que el Conjunto Universal será nombrado por la letra U, a pesar de que existen corrientes que aceptan nombrar a esta colección por la letra V. No obstante, la corriente de más peso le asigna por nombre U.

Propiedad de A como subconjunto de U

Entre las propiedades matemáticas que puede distinguir la Teoría de Conjuntos sobre el Conjunto Universal se encuentra la Propiedad de A como subconjunto de U, ley ésta que indica que toda vez que se tenga un conjunto dado, por ejemplo un conjunto A, y un Conjunto Universal de referencia, se podrá considerar a A como subconjunto de U. Esta situación es fácilmente explicable si se piensa que si A guarda relación o tiene al Conjunto Universal como referencia, quiere decir que sus elementos forman parte también de U, es decir, que se encuentra incluido en U, siendo entonces un subconjunto de éste. Igualmente, la Teoría de conjuntos ha indicado que esta propiedad puede ser expresada de la siguiente manera:

A ⊆ U

Ejemplo de la Propiedad de A ⊆ U

No obstante, puede que sea necesaria aún la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver de forma práctica cómo se cumple esta Ley matemática. A continuación, un ejemplo de esta propiedad:

Dado un conjunto A, conformado por nombres femeninos que comiencen por la letra “a”: A= {Andreina, Adriana, Amelia, Antonia} comprobar la propiedad de A como subconjunto de U, teniendo como referencia al siguiente Conjunto Universal: U= {Andreina, Adriana, Amalia, Antonia, Adelaida, Ana, Antonella, Abril, Alfonsina}

Para cumplir con la petición hecha en el postulado puede que sea necesario simplemente comparar ambos conjuntos, para determinar si realmente los elementos de A se encuentran plenamente comprendidos dentro de U. Sin embargo, también se puede establecer entre ellos una operación de intersección, cuya respuesta debería ser equivalente de forma total con el conjunto A, situación que probará entonces que A es un subconjunto de U, tal como se ve seguidamente:

A= {Andreina, Adriana, Amelia, Antonia}
U= {Andreina, Adriana, Amalia, Antonia, Adelaida, Ana, Antonella, Abril, Alfonsina}

A ∪ U=
A ∪ U= {Andreina, Adriana, Amelia, Antonia} ∪ {Andreina, Adriana, Amalia, Antonia, Adelaida, Ana, Antonella, Abril, Alfonsina}

A ∪ U= {Andreina, Adriana, Amelia, Antonia}

Al comparar el resultado de esta operación de Intersección con el conjunto A, se podrá ver cómo coinciden de forma plena:

A= {Andreina, Adriana, Amelia, Antonia}
A ∪ U= {Andreina, Adriana, Amelia, Antonia}

A = A ∪ U
{Andreina, Adriana, Amelia, Antonia} = {Andreina, Adriana, Amelia, Antonia}

Por ende, siendo A igual al resultado de la operación de Intersección entre A y U, se concluye entonces que A se encuentra comprendida de forma plena y total dentro del Conjunto Universal, es decir que, tal como reza la Propiedad Matemática de A como subconjunto de U, ciertamente en este caso el Conjunto Dado cumple también con ser un subconjunto del Conjunto de referencia o Conjunto Universal:

A ⊆ U

Imagen: pixabay.com

Propiedad de A como subconjunto de U
julio 31, 2017

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