Propiedad de la Idempotencia en la Intersección de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, en probable que deben traerse a capítulos dos definiciones fundamentales: en primer lugar, el concepto de Conjunto, a fin de poder tener presente la naturaleza del objeto sobre el cual se da la operación al que la propiedad de Idempotencia resulta inherente. Así mismo, puede ser necesario revisar también la definición de Intersección entre conjuntos, operación al que le es atribuida esta propiedad. A continuación, cada una de las definiciones:

Conjunto

De esta manera, se puede comenzar por decir que la Matemática concibe al Conjunto como un objeto, que se encuentra constituido por una serie de elementos entre los que se dice existe una naturaleza común, rasgo éste que les permite entonces establecer esta colección abstracta, conocida matemáticamente como Conjunto. Con respecto a la notación de este objeto, las distintas fuentes teóricas coinciden en establecer tres parámetros esenciales: en primer lugar, el nombre del conjunto corresponderá siempre al nombre de una letra mayúscula; por otro lado, sus elementos deberán estar contenidos por signos de llaves { } mientras que deben ser presentados como una lista, separada por comas.

Operación de Intersección

Por otro lado, la Intersección puede ser definida como una operación propia del Álgebra de conjuntos, en donde dos conjuntos establecen entre ellos –como su nombre los indica- una intersección, dando lugar a un tercer conjunto en donde pueden contarse aquellos elementos que resultan comunes a los conjuntos que han participado en la operación. De acuerdo a las distintas fuentes teóricas, el signo que sirve para expresar esta operación es ∩ mientras que la operación puede ser matemáticamente expresada de la siguiente manera:

A ∩ B =

Propiedad de la Idempotencia

Con estas definiciones presentes, será mucho más sencillo aproximarse a la propiedad de la Idempotencia, la cual puede encontrarse en torno a la operación de la Intersección, y que dicta básicamente que todo conjunto que establezca una operación de este tipo consigo mismo, dará como resultado el propio conjunto. Esto se explica, puesto que si un conjunto A establece una operación de intersección consigo mismo, coincidirá en cada uno de los elementos, por lo que el resultado no podrá ser otro que el propio conjunto A. Esta propiedad puede ser planteada matemáticamente de la siguiente forma:

A ∩ A = A

Ejemplo propiedad de Idempotencia en la Intersección de conjuntos

No obstante, quizás la forma más eficiente de dar explicación a esta propiedad y a las operaciones que pueden establecerse en torno a su comprobación, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que pueda servir de ejemplo a esta propiedad descrita por el Álgebra de Conjuntos. A continuación, el caso:

Dado un conjunto A, constituido por instrumentos musicales de cuerda: A= {Violín, Cuatro, Guitarra, Bandolina, Arpa, Piano, Bajo, Contrabajo} comprobar la Propiedad de Idempotencia en la Intersección de conjuntos.

Para dar cumplimiento con lo que exige el postulado de este ejercicio, será necesario entonces plantear una operación de Intersección entre este conjunto y él mismo, lo cual se hará colocando el conjunto frente a él, y buscando cuáles son los elementos comunes:

A= {Violín, Cuatro, Guitarra, Bandolina, Arpa, Piano, Bajo, Contrabajo}

A ∩ A=

A ∩ A= {Violín, Cuatro, Guitarra, Bandolina, Arpa, Piano, Bajo, Contrabajo} = {Violín, Cuatro, Guitarra, Bandolina, Arpa, Piano, Bajo, Contrabajo}

A ∩ A= {Violín, Cuatro, Guitarra, Bandolina, Arpa, Piano, Bajo, Contrabajo}

Al hacerlo se puede ver dos cosas importantes: primero, cómo ambos conjuntos partícipes en la operación son el propio conjunto A; en segundo lugar, cómo estos conjuntos –lógicamente por ser el mismo conjunto- coinciden plenamente en cada uno de sus elementos, por lo que originan a su vez un conjunto que puede ser identificado como el propio conjunto A. De esta manera, queda comprobada la Propiedad de Idempotencia en la Intersección de Conjuntos, puesto que A ∩ A = A.

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