Propiedad de la Idempotencia en la Unión de conjuntos

Es probable, que previo a abordar la definición y demás aspectos inherentes a la Propiedad de Idempotencia que puede verse en la operación de Unión de Conjuntos, sea necesario revisar algunas definiciones esenciales para entender dicha propiedad en su contexto adecuado.


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Conceptos fundamentales

En este sentido, quizás sea pertinente revisar la propia definición de Conjunto, lo cual permitirá tener presente la naturaleza del objeto en base al cual se hace la operación en la que puede observarse la propiedad de Idempotencia. Así mismo, surge como necesario traer a colación el concepto de Unión de conjuntos, a fin también de tener clara la naturaleza y alcances de la operación concerniente a esta propiedad matemática. A continuación, las definiciones:

Conjunto

Con respecto a la definición de Conjunto, se puede decir que las Matemáticas lo conciben como un objeto, constituido en base a una colección abstracta de elementos, entre los cuales puede ser identificado un elemento en común, es decir, que pueden ser contenidos bajo el mismo criterio de agrupación. Así mismo, esta disciplina señala una serie de rasgos que pueden ser entendidos a su vez como características propias del conjunto, y que pueden resumirse en las siguientes:

  • El conjunto se encuentra definido, de forma única y exclusiva, por los elementos que lo conforman, así que no importa el orden en el que se presente, sino que respondan a la orden de tener entre ellos un rasgo en común.
  • Los elementos que conforman el conjunto pueden pertenecer tanto al orden de los concreto, es decir, referir a objetos de la realidad, como ser elementos abstractos.
  • Con respecto a la magnitud que puede tener un conjunto, la Matemáticas también indica que esto dependerá del número de elementos que agrupa, los cuales pueden ser finitos, así también como infinitos, dotando de igual magnitud al conjunto.
  • Así mismo, ya que el conjunto se formó en base a un criterio de agrupación, el cual debe ser cumplido por cualquier elemento que pretenda incorporarse a la colección, ésta no corre riesgo de cambiar, en la medida en que va creciendo, es decir, que va incorporando nuevos elementos.

Álgebra de Conjuntos

De igual forma, resulta importante traer a colación la definición de Álgebra de Conjuntos, la cual puede ser entendida a su vez como la disciplina matemática, cuyo principal propósito es estudiar y entender las distintas operaciones que pueden realizarse entre dos o más conjuntos, así también como a las propiedades, rasgos, naturaleza y demás aspectos inherentes a estos objetos y sus relaciones matemáticas.

Unión de Conjuntos

Finalmente, se puede decir que la Unión de Conjuntos ha sido definida por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, por medio de la cual un conjunto determinado se une a otro, a fin de dar como resultado un tercer conjunto, en donde pueden contarse todos los elementos que se encuentran en los conjuntos que han participado de la operación. Así mismo, la teoría matemática señala que esta operación es denotada con el signo ∪, contando además con una expresión algebraica de la siguiente forma:

A ∪ B =  │A│+ │B│

Propiedad de la Idempotencia

Revisadas estas definiciones, será entonces mucho más sencillo entender la terminología ligada a la propiedad de la Idempotencia, la cual resulta inherente a la operación de Unión de Conjuntos –aun cuando también existen en la operación de Intersección- y que puede ser definida a su vez como la Ley que indica que todo conjunto que decida unirse consigo mismo, dará como resultado el propio conjunto. Igualmente, la Matemática ha señalado que la expresión matemática de esta Ley o propiedad puede responder a esta forma:

A ∪ A = A

Ejemplo de Propiedad de Idempotencia

No obstante, quizás la forma más eficiente para entender esta propiedad de la operación de Unión de conjuntos, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver en la práctica lo que dicta la teoría. A continuación, uno de ellos:

Suponiendo un conjunto A, conformado por títulos de novelas en Español: A = {El Quijote, Cien años de soledad, La casa de los espíritus, Los detectives salvajes} comprobar si en efecto se cumple la Propiedad de la Idempotencia, cuando se pretende unir este conjunto a sí mismo.

A ∪ A= {El Quijote, Cien años de soledad, La casa de los espíritus, Los detectives salvajes} ∪ {El Quijote, Cien años de soledad, La casa de los espíritus, Los detectives salvajes}

Cumpliendo el criterio que indica que al realizar la operación de Unión entre dos conjuntos, solo se nombrarán una vez aquellos elementos comunes entre ellos, se tendrá entonces lo siguiente:

A ∪ A= {El Quijote, Cien años de soledad, La casa de los espíritus, Los detectives salvajes}

Al revisa el conjunto que ha resultado de la operación de Unión, se puede ver que corresponde al primer conjunto, por lo que entonces efectivamente, se cumple la propiedad de Idempotencia en esta operación de Unión de conjuntos, teniendo entonces que A ∪ A = A.

Imagen: pixabay.com

Propiedad de la Idempotencia en la Unión de conjuntos
junio 19, 2017

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