Propiedad de U como elemento absorbente respecto a la Unión

Tal vez lo mejor, antes de abordar la explicación sobre la Propiedad matemática que señala el papel que cumple el Conjunto Universal como elemento absorbente dentro de la operación de Unión, sea revisar algunas definiciones, que permitirán entender esta ley matemática dentro de su contexto adecuado.


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Definiciones fundamentales

Por consiguiente, pueda que lo más pertinente sea comenzar por la propia definición de Conjunto, pues esto permitirá tener claro la naturaleza del objeto matemático en base al cual se da la noción de Conjunto Universal. Igualmente, quizás sea pertinente tomar en cuenta también el concepto de Conjunto Universal, tanto como el de Unión de conjuntos, por ser la operación del Álgebra de conjuntos en base a la cual se da esta propiedad matemática. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjunto

En este sentido, se dirá entonces que las Matemáticas han definido al Conjunto como una colección abstracta, conformada por una agrupación de elementos, entre los cuales se pueden distinguir al menos un elemento en común, es decir, que se pueden considerar como pertenecientes a una misma naturaleza. Por otro lado, esta disciplina también señala un rasgo que puede ser considerado como la característica principal del Conjunto: el estar conformado y definido, de forma única y exclusiva por sus elementos. Con respecto a su notación, las Matemáticas señalan que el Conjunto será nombrado según una letra mayúscula, mientras que sus elementos irán separados por comas y encerrados por signos de llaves {}.

Conjunto Universal

Por su lado, el Conjunto Universal puede ser considerado como la colección abstracta en donde se encuentran contenidos el pleno de los elementos que forman parte de un contexto matemático específico, de ahí que también algunos autores o corrientes lo denominen Conjunto referencial. Así mismo, las distintas fuentes teóricas señalan que el Conjunto Universal es definido a conveniencia por el individuo, según la realidad o contexto del cual quiera dar referencia. En cuanto a su notación, las distintas fuentes señalan que este conjunto será nombrado por la letra U.

Unión de Conjunto

Finalmente, otra definición a la que debe prestársele debida atención es a la Unión, operación del Álgebra de Conjuntos, por medio de la cual dos o más conjuntos establecen una relación de unión, dándole forma a un conjunto en donde pueden contarse como elementos la totalidad de elementos de cada uno de los conjuntos que han participado de esta operación. Por otro lado, esta disciplina matemática indica también que el signo que señala esta operación corresponderá a ∪, mientras que contará con la siguiente expresión matemática:

A ∪ B = │A│ + │B│

U como elemento absorbente respecto a la Unión

Teniendo esta definiciones presente, puede que sea mucho más sencillo entender esta ley matemática, la cual reza que siempre que se establezca una operación de Unión entre un Conjunto dado y el Conjunto universal, este último ejercerá la función de elemento absorbente, es decir que absorberá al conjunto dado, puesto que siendo éste un subconjunto de U, al unirse a él, el resultado será el propio conjunto Universal. Esta propiedad puede ser expresada a través de la siguiente forma matemática:

A ∪ U= U

Ejemplo de U como elemento absorbente en la Unión

No obstante, puede que la forma más eficiente de explicar esta propiedad sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita ver de forma práctica cómo el Conjunto Universal termina absorbiendo al Conjunto en la operación de Unión, tal como se ve a continuación:

Dado un conjunto A, compuesto por nombres de frutas: A= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva} comprobar cómo se cumple la Propiedad del Conjunto Universal como elemento absorbente en la operación de Unión, teniendo como referencia al Conjunto Universal: U= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina}.

Para cumplir con la solicitud hecha por el postulado, será necesario entonces establecer la operación de Unión entre ambas colecciones, a fin de ver si en efecto se logra comprobar esta propiedad:

A= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva}
U= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina}

A ∪ U=
A ∪ U= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva} ∪ {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina}

A ∪ U= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina}

Una vez realizada la operación, se deberá comparar este resultado con el propio Conjunto Universal, ya que de resultar iguales, se podrá considerar cumplida la propiedad, puesto que el Conjunto dado habrá sido efectivamente absorbido por el Conjunto Universal, tal como señala esta ley:

A ∪ U= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina}

U= {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina}

A ∪ U = U
{Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina} = {Banana, Níspero, Maracuyá, Ananá, Uva, Kiwi, Arándano, Papaya, Limón, Naranja, Mandarina}

Al hacerlo, ciertamente se puede ver cómo el resultado de la Unión entre A y U es igual al Conjunto Universal. Por ende se considera comprobado que U funge como elemento absorbente en la operación de Unión con A.

Imagen: pixabay.com

Propiedad de U como elemento absorbente respecto a la Unión
julio 31, 2017

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