Propiedad del Elemento neutro en la Diferencia simétrica

Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez resulte pertinente abordar en primera instancia la definición de Conjunto, pues esta permitirá estar consciente sobre la naturaleza del objeto sobre el cual se genera la  Diferencia Simétrica, operación esta sobre cuya definición también deberá ser revisada, pues es en ella en donde tiene lugar la propiedad que pretende estudiarse. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

Con respecto a la definición de Conjunto, se puede comenzar por decir que ha sido definido por las Matemáticas como una colección abstracta de elementos, los cuales responden todos a un criterio de agrupación, teniendo al menos un rasgo en común, de ahí que se les pueda concebir como un conjunto. Así mismo, esta disciplina ha recalcado que los Elementos del Conjunto cumplen con la función de constituir y definir, de forma única y exclusiva al Conjunto. Finalmente, la teoría lanza luces también sobre la notación a la que responden este tipo de objetos, señalando que deben ser nombrados según alguna letra mayúscula, mientras que sus elementos se presentarán siempre entre signos de llaves { } así como en forma de listado, siendo separados por comas.

Diferencia Simétrica

Por otro lado, es importante también revisar de forma breve la definición de Diferencia Simétrica, la cual ha sido explicada por el Álgebra de Conjuntos como una operación básica, en donde dos o más conjuntos crean una colección, donde se pueden contar como elementos aquellos que aparecen una vez por conjunto. Para explicarlo de otra manera, la Diferencia Simétrica es una operación que ocurre entre un conjunto A y un conjunto B, de donde se origina un conjunto A∆B, en donde solo es posible encontrar aquellos elementos que aparecen una vez en el conjunto A sin que se puedan encontrar en el conjunto B, y viceversa.

Propiedad del Elemento neutro (Diferencia Simétrica)

Revisadas estas definiciones, será mucho más fácil aproximarse a la propia definición de Propiedad del Elemento neutro, la cual puede ser a su vez entendida –según apunta el Álgebra de Conjuntos- como una propiedad matemática que reza que siempre que un conjunto establezca una operación con el Conjunto vacío, el cual cumple en esta área el mismo papel del cero en las operaciones numéricas, el resultado será el propio conjunto. Este hecho puede ser explicado debido a que a la hora de determinar cuáles son los elementos que aparecen tan solo una vez por conjunto, solo podrán encontrarse los del conjunto que tiene elementos, puesto que el Conjunto vacío no cuenta con ninguno. En cuanto a su expresión matemática, esta propiedad podrá contar con la siguiente forma:

A ∆ ∅ = A

Ejemplo de Propiedad del Elemento neutro en la Diferencia Simétrica

No obstante, tal vez la forma más acertada de explicar esta propiedad matemática sea a través de la exposición de un caso concreto, el cual permita entender cómo se realiza en la práctica aquello que ha sido postulado por la teoría. A continuación, entonces, un ejemplo de cómo se cumple la Propiedad del Elemento neutro en la Diferencia Simétrica:

Dado un conjunto A, constituido por frutas en general: A= {Níspero, Melocotón, Uva, Kiwi, Mango, Sandía, Mandarina, Manzana, Pera} comprobar cómo se cumple la operación del Elemento neutro en la Diferencia Simétrica.

A fin de dar cumplimiento con la solicitud expresad en este ejercicio, se empezará por expresar y resolver la operación de Diferencia Simétrica entre el conjunto dado y el Elemento neutro, es decir, el Conjunto vacío:

A= {Níspero, Melocotón, Uva, Kiwi, Mango, Sandía, Mandarina, Manzana, Pera}

A ∆ ∅ =

A ∆ ∅ =  {Níspero, Melocotón, Uva, Kiwi, Mango, Sandía, Mandarina, Manzana, Pera} ∆  ∅
A ∆ ∅ =  {Níspero, Melocotón, Uva, Kiwi, Mango, Sandía, Mandarina, Manzana, Pera}

Al hacerlo, se podrá ver entonces cómo en efecto al realizar la operación de Diferencia Simétrica entre un conjunto con elementos y el Conjunto vacío, o Elemento neutro, el resultado será el conjunto que tiene elementos. En este caso, entonces, se puede considerar comprobada la Propiedad del Elemento neutro en la Diferencia Simétrica.

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