Propiedad del subconjunto

Definiciones fundamentales

En este sentido, surge como necesario entonces pasar revista sobre la propia definición de Conjunto, a fin de entender la naturaleza del objeto matemático, sobre el cual tiene lugar la noción de Subconjunto, concepto que igualmente debe ser evaluado, tal como se muestra a continuación:

Conjunto

De esta forma, se puede comenzar por decir entonces que el Conjunto puede ser definido como un objeto matemático, constituido por una agrupación de elementos, entre los cuales puede distinguirse al menos un elemento en común, de ahí que puedan ser vistos como un conjunto o colección abstracta. Así mismo, las Matemáticas señalan que el Conjunto cuenta con la principal característica de ser constituido y definido, de forma única y exclusiva, por sus elementos, los cuales son los únicos con esta propiedad.

Subconjunto

Por otro lado, las Matemáticas también lanzan luces sobre la noción de Subconjunto, al cual definen como un conjunto de elementos que se encuentran contenidos, en su totalidad, dentro de una colección abstracta mucho mayor, es decir, que junto con otros elementos conforman y definen el conjunto. Un ejemplo de Subconjunto podría ser el siguiente:

Dado un conjunto A conformado por frutas en general: A= {Mandarina, Papaya, Limón, Naranja, Manzana, Pera, Níspero} y un conjunto B, en donde se pueden contar como elementos frutas cítricas: B= {Mandarina, Limón, Naranja} determinar si B puede considerarse un subconjunto de A.

Para cumplir con este enunciado pueden seguirse dos caminos. En primer lugar se pueden observar ambas colecciones, a fin de determinar si realmente todos y cada uno de los elementos de B pueden encontrarse contenidos por A:

A= {Mandarina, Papaya, Limón, Naranja, Manzana, Pera, Níspero}
B= {Mandarina, Limón, Naranja}

Al hacerlo, en efecto se puede ver cómo cada uno de los tres elementos del conjunto B se encuentran a su vez en el conjunto A, por ende se puede decir que B está contenido en A: B⊆A

Una segunda forma de poder determinar el subconjunto de un conjunto sería a través del uso de la operación de Intersección, la cual se aplicaría entre las colecciones, sobre las cuales se quiere aclarar esta idea. Por ejemplo:

A= {Mandarina, Papaya, Limón, Naranja, Manzana, Pera, Níspero}
B= {Mandarina, Limón, Naranja}

A ∩ B=
A ∩ B= {Mandarina, Papaya, Limón, Naranja, Manzana, Pera, Níspero} ∩ {Mandarina, Limón, Naranja}

A ∩ B= {Mandarina, Limón, Naranja}

Al hacerlo, se puede ver cómo el resultado arrojado por la operación de Intersección, coincide totalmente con el conjunto B:

B= {Mandarina, Limón, Naranja}
A ∩ B= {Mandarina, Limón, Naranja}

B = A ∩ B

Resultado que se puede interpretar igualmente como que B se encuentra contenido de forma plena en el conjunto A:

B⊆A

Propiedades del Subconjunto

Igualmente, como todo objeto matemático, el Subconjunto también cuenta con algunas propiedades matemáticas, las cuales resaltan algunas lógicas de su comportamiento y naturaleza, y que pueden clasificarse en las siguientes:

Propiedad sobre el conjunto vacío

Por consiguiente, quizás la primera propiedad que deba resaltarse en el caso del Subconjunto sea aquella relacionada con el Conjunto vacío, y que reza que siempre, y en cualquier circunstancia, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier colección abstracta. Esto se puede explicar, por la lógica matemática que indica que al no tener elementos, el conjunto vacío pues se encuentra presente como parte de cualquier agrupación de objetos.

Propiedad Reflexiva

Así también, las Matemáticas señalan que todo conjunto puede ser considerado como subconjunto de sí mismo, puesto que cada uno de sus elementos se encuentra lógicamente dentro de sí mismo. Esta propiedad matemática en referencia al Subconjunto puede ser expresada de la siguiente forma:

A⊆A

Propiedad transitiva

Por otro lado, las Matemáticas también conciben a la Propiedad transitiva como una de las leyes por las cuales se rigen los conjuntos. De esta forma, cada vez que se diga que un conjunto A se encuentra contenido dentro de un conjunto B, y que este conjunto B a su vez es un subconjunto de C, entonces se puede concluir que A es un subconjunto de C. La expresión matemática de esta ley corresponderá a la siguiente forma:

A ⊆ B y B ⊆ C → A ⊆ C

Propiedad antisimétrica

Finalmente, las Matemáticas apuntan a que siempre que se hablen de subconjuntos se puede hablar también de Propiedad Antisimétrica, la indica que siempre que se encuentre ante la evidencia de que un conjunto A sea subconjunto de B, pero que al mismo tiempo B sea también subconjunto de A, esto sólo será posible si A y B son iguales, pues ahí entraría en juego también la Propiedad reflexiva, que indica que todo conjunto es su propio subconjunto. La expresión matemática de esta Ley sería la siguiente:

A ⊆ B   y   B ⊆ A → A=B

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