Propiedad distributiva con respecto a la Intersección en la Unión de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, probablemente lo mejor sea iniciar por los conceptos más básicos, como por ejemplo el del propio Conjunto, lo cual permitirá tener presente la naturaleza de los objetos en base a los cuales se dan las dos operaciones del Álgebra de conjuntos (Unión e Intersección) en las que se cumple esta Propiedad Distributiva, y que igualmente será necesario definir. A continuación, los conceptos:

Conjunto

De esta manera, se deberá comenzar por decir que la mayoría de fuentes teóricas optan por definir al Conjunto como un objeto en sí mismo, conformado por una lista de objetos, entre los que existe una característica o rasgo en común, que permite considerarlos como parte de una colección. Así mismo, las Matemáticas han dejado en claro que el Conjunto se caracteriza principalmente por estar formado y determinado, única y exclusivamente por los elementos que lo constituyen. En cuanto a su notación, esta disciplina ha señalado que el conjunto como tal debe ser bautizado o nombrado según algunas letra mayúscula, mientras sus elementos deben ser presentados como una lista, que debe estar separada por comas, e incluidos dentro de dos signos de llaves: {}.

Unión de Conjuntos

Por otro lado, es también necesario traer a colación la definición que tienen el Álgebra de Conjuntos sobre la Unión, la cual es entendida como una de las operaciones básicas con conjuntos, en la cual se unen dos o más conjuntos, para dar como resultado otro conjunto, en donde se puede hallar todos los elementos que se encontraban originalmente en cada uno de los objetos o colecciones que participaron de la operación. La Unión de Conjuntos es señalada por el signo ∪, y cuenta con la siguiente expresión matemática:

A ∪ B ∪ C = │A│ + │B│ + │C│

Intersección de Conjuntos

Entre otra de las operaciones de conjuntos que resulta pertinente definir, en cuanto a la Propiedad Distributiva, se encuentra la Intersección de Conjuntos, la cual es concebida por el Álgebra de Conjuntos como otra operación básica, en la cual dos o más conjuntos se intersectan, para dar como resultado un conjunto en donde pueden encontrarse aquellos elementos que son comunes a los conjuntos que participan en la operación. El signo que señala la operación de intersección es ∩, mientras que su forma de expresión matemática será la siguiente:

A ∩ B=

Propiedad Distributiva (Unión de conjuntos)

En cuanto a la Propiedad Distributiva que puede observarse en la Unión de conjuntos, es necesario resaltar que esta Ley puede darse sólo en relación con la operación de la Intersección, viniendo entonces a señalar que si un Conjunto A se encuentra unido al Intersección que ha ocurrido entre un conjunto B y un conjunto C, entonces este resultado será igual a la intersección de la unión del conjunto A y B, y la unión del conjunto A y C, situación esta que podría ser resumida matemáticamente de la siguiente manera:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

No obstante, quizás la mejor forma de poder ver en la práctica lo que la teoría enuncia sobre esta Propiedad sea a través de un ejemplo, en donde se vea la realidad de las distintas operaciones planteadas en esta expresión matemática, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse como elementos un grupo de colores, cuyo nombre comience por la letra “c”: A= {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste}; un conjunto B, en donde se incluyan los distintos tonos de azul: B= {Azul marino, Turquesa, Celeste, Aguamarina}; y un conjunto C, constituido por colores en general:  C= {Naranja, Rojo, Celeste, Cobre, Aguamarina} comprobar que realmente se cumple la Propiedad Distributiva con respecto a la Intersección, en la operación de Unión de conjuntos.

Para esto, será necesario entonces cumplir las distintas operaciones que se señalan en la expresión matemática de la Propiedad Distributiva, es decir: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y que en este caso, dará los siguientes resultados:

A= {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste}
B= {Azul marino, Turquesa, Celeste, Aguamarina}
C= {Naranja, Rojo, Celeste, Cobre, Aguamarina}

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∪ (B ∩ C) = {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste} ∪ {Celeste, Aguamarina}
A ∪ (B ∩ C) = {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste, Celeste, Aguamarina}

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)= ({Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste, Azul marino, Turquesa, Aguamarina}) ∩ ({Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste, Naranja, Rojo, Aguamarina}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)= {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste, Aguamarina}

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
{Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste, Celeste, Aguamarina} = {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste, Aguamarina}

Al comparar ambos resultados, se puede notar como coinciden totalmente, por lo que se concluye entonces que en efecto A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), es decir, que sí se cumplió la Propiedad Asociativa respecto a la Intersección, en la operación de Unión.

Propiedad distributiva de la Intersección respecto a la Unión de conjuntos

Sin embargo, esta Propiedad acepta otra opción inversa, la cual indica que igualmente la intersección del conjunto A con la unión del conjunto B con el C resultaría igual a la unión de las respectivas intersecciones del conjunto A con el conjunto B, y del conjunto A con el conjunto C, lo cual se puede expresar igualmente de la siguiente manera:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

En este planteamiento de la Propiedad Distributiva se puede exponer también un ejemplo concreto, que ayude a visualizar mucho mejor las distintas operaciones contenidas en esta operación, tal como el que se muestra seguidamente:

Dado nuevamente el conjunto A, conformado por un grupo de colores, cuyo nombre comience por la letra “c”: A= {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste}; un conjunto B, constituido por los distintos tonos de azul: B= {Azul marino, Turquesa, Celeste, Aguamarina}; y un conjunto C, en donde puedan reunirse los colores en general:  C= {Naranja, Rojo, Celeste, Cobre, Aguamarina} comprobar que realmente se cumple la Propiedad Distributiva con respecto a la Intersección, en la operación de Unión de conjuntos.

A= {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste}
B= {Azul marino, Turquesa, Celeste, Aguamarina}
C= {Naranja, Rojo, Celeste, Cobre, Aguamarina}

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∩ (B ∪ C) = {Chocolate, Carmín, Cobre, Celeste} ∩ {Azul marino, Turquesa, Celeste, Aguamarina, Naranja, Rojo, Cobre}
A ∩ (B ∪ C) = {Cobre, Celeste}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)= ({Celeste} ∪ {Celeste, Cobre}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)= {Celeste, Cobre}

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

{Cobre, Celeste} = {Celeste, Cobre}

Al revisar ambos resultados, se puede ver cómo coinciden, por lo que en este ejercicio realmente se ha cumplido la expresión A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), por lo que queda comprobado igualmente la Propiedad Distributiva.

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