Propiedad distributiva en la Intersección de conjuntos

Antes de poder abordar la definición y demás aspectos de la propiedad matemática conocida como Propiedad distributiva con respecto a la Unión en la Intersección de conjuntos, quizás lo más conveniente sea hacer una revisión sobre algunas definiciones, necesarias para ubicar esta propiedad en su contexto adecuado.

Definiciones fundamentales

En este sentido, tal vez lo más conveniente sea realizar dicha revisión en base a tres conceptos básicos: en primer lugar el del Conjunto, a fin de poder tener presente la naturaleza del objeto en base al cual se da las distintas operaciones establecidas por esta propiedad. Así mismo, será necesario conocer los conceptos de cada una de estas operaciones. A continuación, cada una de las definiciones:

Conjunto

Por consiguiente, se empezará con el concepto de Conjunto, el cual ha sido explicado por el Álgebra de conjuntos como un objeto, conformado por una lista de elementos, entre los cuales puede distinguirse un rasgo en común, es decir que pueden verse como parte de la misma naturaleza, de ahí que se considere que su agrupación sea asumida como una colección abstracta de elemento comunes, lo cuales además asumen la responsabilidad de definir, de forma única y exclusiva al Conjunto. Con respecto a la notación de estos elementos, la norma matemática también indica que esta deberá corresponder a estos puntos básicos: en primera instancia el Conjunto será nombrado como una letra mayúscula; en segundo lugar, sus elementos deberán ser contenidos entre dos signos de llave {} mientras que se exige que sean presentados en forma de lista, siendo separado cada uno de ellos por comas.

Unión de conjuntos

Así también, resulta pertinente reparar en la definición de Unión de conjuntos, la cual ha sido vista por el Álgebra de conjuntos como una operación básica, que consiste en la unión entre dos o más conjuntos, lo cual da como resultado un conjunto conformado por la totalidad de los elementos que pueden verse originalmente en cada conjuntos. Por consiguiente, al establecer una operación de Unión entre conjuntos, en realidad lo que se hace es sumar los elementos de estos conjuntos, obteniendo así un conjunto mucho más amplio, conformado por el total de conjuntos de todas las colecciones que han participado de la operación. Con respecto a esta operación, las distintas fuentes teóricas han señalado que su expresión matemática responde a la siguiente forma:

A ∪ B= │A│ + │B│

Intersección de conjuntos

Por otro lado, el Álgebra de conjuntos también ha lanzado luces sobre la definición de Intersección de conjuntos, la cual ha sido explicada a su vez como una operación básica en donde dos o más conjuntos establecen –como su nombre lo dice- una intersección entre ellos, originando un conjunto, conformado por aquellos elementos que resultan comunes a cada uno de los conjuntos sobre los cuales se ha llevado a cabo esta operación. De esta forma, a diferencia de lo que sucede en la Unión de conjuntos en donde el conjunto que resulta contiene todos los elementos de las colecciones sobre las que se ha llevado a cabo la operación, en la Intersección sólo tendrán oportunidad de participar en el objeto que se ha generado aquellos elementos comunes a todas las colecciones que han establecido la Intersección. La expresión matemática de esta operación, responderá a la siguiente forma:

A ∩ B=

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Propiedad distributiva en la Intersección de conjuntos

Vistas estas definiciones, será mucho más sencillo aproximarse a la definición de Propiedad Distributiva en la Intersección de conjuntos, propiedad matemática que, debe decirse, se da en relación a la Unión de conjuntos, y que reza que la intersección de un conjunto A con la unión de un conjunto B y un conjunto C puede ser entendida como el equivalente de la Unión de las interacciones que puede establecer el conjunto A, respectivamente con el conjunto B y el conjunto C. No obstante, quizás la forma más eficiente de referir a esta propiedad sea a través de su expresión matemática:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)

Ejemplo de Propiedad distributiva en la Intersección de conjuntos

Así mismo, una forma bastante eficaz de abordar la explicación de esta propiedad matemática, inherente a la Intersección de conjuntos, puede ser a través de la exposición de ejemplos concretos, en donde se pueda ver cómo se producen en la práctica las equivalencias que señala esta propiedad, tal como el que se muestra a continuación:

Dado un conjunto A, en donde puedan contarse como elementos animales cuyo nombre comiencen por la letra “p”:  A= {Perro, Pantera, Pelícano, Pingüino, Puma, Perezoso}, un conjunto B, constituido por animales cuadrúpedos: B= {Gato, Perro, Vaca, Toro, Elefante, Pantera, Rinoceronte, Puma} y un conjunto C, conformado por animales mamíferos cuyo nombre termine en la letra “a”: C= {Vaca, Pantera, Puma, Ardilla, Nutria, Cebra, Comadreja} comprobar si en verdad se puede hablar de Propiedad Distributiva en la Intersección de conjuntos:

Para cumplir con lo solicitado en este postulado, será necesario entonces realizar, con los conjuntos ofrecidos, cada una de las operaciones establecidas en la expresión matemática de esta propiedad: A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)

A= {Perro, Pantera, Pelícano, Pingüino, Puma, Perezoso}
B= {Gato, Perro, Vaca, Toro, Elefante, Pantera, Rinoceronte, Puma}
C= {Vaca, Pantera, Puma, Ardilla, Nutria, Cebra, Comadreja}

Se realizará la primera operación: A ∩ (B ∪ C)

B ∪ C= {Gato, Perro, Vaca, Toro, Elefante, Pantera, Rinoceronte, Puma} ∪ {Vaca, Pantera, Puma, Ardilla, Nutria, Cebra, Comadreja}
B ∪ C= {Gato, Perro, Vaca, Toro, Elefante, Pantera, Rinoceronte, Puma, Ardilla, Nutria, Cebra, Comadreja}

A ∩ (B ∪ C)= {Perro, Pantera, Pelícano, Pingüino, Puma, Perezoso} ∩ {Gato, Perro, Vaca, Toro, Elefante, Pantera, Rinoceronte, Puma, Ardilla, Nutria, Cebra, Comadreja}
A ∩ (B ∪ C)= {Perro, Pantera, Puma}

Se cumplirá con la segunda operación: (A ∩ B) U (A ∩ C)

A ∩ B= {Perro, Pantera, Pelícano, Pingüino, Puma, Perezoso} ∩ {Gato, Perro, Vaca, Toro, Elefante, Pantera, Rinoceronte, Puma}
A ∩ B= {Perro, Pantera, Puma}

A ∩ C= {Perro, Pantera, Pelícano, Pingüino, Puma, Perezoso} ∩ {Vaca, Pantera, Puma, Ardilla, Nutria, Cebra, Comadreja}
A ∩ C= {Perro, Pantera, Puma}

(A ∩ B) U (A ∩ C)= {Perro, Pantera, Puma} ∪ {Perro, Pantera, Puma}
(A ∩ B) U (A ∩ C)= {Perro, Pantera, Puma}

Al hacerlo, se puede comprobar efectivamente que son ciertas las equivalencias que plantea la expresión matemática de la Propiedad Distributiva respecto a la Unión en la Intersección de conjuntos:

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)
{Perro, Pantera, Puma} = {Perro, Pantera, Puma}

Imagen: pixabay.com

Propiedad distributiva en la Intersección de conjuntos
junio 26, 2017