Propiedad Involutiva en el Conjunto complementario

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, quizás lo más conveniente sea revisar los conceptos de los tres conjuntos involucrados, a fin de tener ideas claras sobre la naturaleza de cada uno de ellos. A continuación, las definiciones:

Conjunto

En primer lugar, se abordará entonces la definición de Conjunto, el cual es visto por las Matemáticas como una colección abstracta, constituida por un listado de elementos, en los cuales puede verse o identificarse un rasgo en común, de ahí que puedan ser todos entendidos como parte de la misma naturaleza. Así mismo, esta disciplina ha señalado que estos elementos no sólo cumplen con la tarea de constituir al conjunto, sino que además desempeñan la misión de definirlo de forma exclusiva y única. Con respecto a la forma correcta de su notación, las Matemáticas han referido que el Conjunto debe ser nombrado según el nombre de una letra mayúscula, mientras que sus elementos deben ir contenidos entre signos de llaves { } mientras que deberá presentarse como un listado, separados por comas.

Conjunto Universal

Por otro lado, el Álgebra de Conjuntos ofrece una definición sobre el Conjunto Universal, concibiéndolo como aquella colección que estará conformada por la totalidad de elementos que pueden distinguirse en un universo delimitado. Quizás por esta razón también recibe el nombre de Conjunto referencia, pues se constituye una colección paradigmática. Igualmente, el Álgebra de Conjuntos señala que los límites del universo al que refiere este conjunto son escogidos a conveniencia, según la realidad de la que se quiera dar cuenta.

Conjunto Complementario

Finalmente, se deberá fijar la atención sobre el Conjunto Complementario, el cual puede ser entendido a su vez como una colección en donde existen como elementos todos aquellos que no aparecen en el conjunto dado, teniendo ambos –es decir, el conjunto y el complementario- como referencia al Conjunto Universal. Dicho en otras palabras, el Conjunto puede ser entendido como un subconjunto del Conjunto Universal, puesto que el complementario será la colección en donde se reflejen todos los elementos del Conjunto Universal que no aparezcan en el conjunto sobre el cual se determina el complementario. Esta operación, puede ser explicada también al decir que el Complementario de un Conjunto es la Diferencia entre un Conjunto Universal y el conjunto dado:

A^∁ = U \ A

Propiedad Involutiva

Con estas definiciones presentes, puede que sea un poco más sencillo abordar la Propiedad Involutiva que tiene lugar en cuanto al Conjunto complementario, y que es definida como aquella Ley matemática que señala que siempre que el Complemento de un conjunto establezca su propio complementario, el resultado será el propio conjunto, de ahí que reciba el nombre de Propiedad Involutiva, porque va hacia la inversa. Así mismo, se puede decir que esta Ley tiene su explicación lógica, puesto que si el Complementario del Conjunto son aquellos elementos que no están contenidos en el Conjunto, tomando como referencia al Conjunto Universal, al querer sacarle el complementario a este complementario, la respuesta volverá al propio Conjunto, pues en él están los elementos que no están en el primer complementario:

(A^∁)^∁ = A

Ejemplos de Propiedad Involutiva en el Conjunto complementario

No obstante, quizás resulte un poco complejo estudiar esta propiedad a través sólo de su parte teórica, por lo que puede que un ejemplo concreto ayude a ver cómo se cumple en la práctica lo que la dimensión teórica dicta. A continuación, un ejercicio:

Teniendo un conjunto A, constituido por los nombres de frutas que comienzan por la letra “m”: A= {Mango, Melón, Mandarina, Merey} y tomando como Conjunto Universal, el siguiente: U= {Mandarina, Manzana, Melón, Merey, Maní, Membrillo, Maracuyá} comprobar la Ley Involutiva que se da en el Complemento del Conjunto.

Para comprobar esta Propiedad, se deberá comenzar entonces por expresar los conjuntos conocidos, a fin de calcular el primer Conjunto complementario:

A= {Mango, Melón, Mandarina, Merey}
U= {Mandarina, Manzana, Melón, Merey, Maní, Membrillo, Maracuyá}

A^∁ = U\A
A^∁ = {Mandarina, Manzana, Melón, Merey, Maní, Membrillo, Maracuyá, Mango} \ {Mango, Melón, Mandarina, Merey}

A^∁ = {Manzana, Maní, Membrillo, Maracuyá, Mango}

Seguidamente, a este Conjunto complementario, tomando igualmente como referencia el Conjunto Universal, se le determinará su Complementario, es decir, la colección en donde estén todos aquellos elementos que, estando en U, no aparezcan en A^∁.

(A^∁)^∁ = U\ A^∁

(A^∁)^∁ = {Mandarina, Manzana, Melón, Merey, Maní, Membrillo, Maracuyá} \ {Manzana, Maní, Membrillo, Maracuyá, Mango}

(A^∁)^∁ = {Mandarina, Melón, Merey, Mango}  Y  {Mandarina, Melón, Merey, Mango} = A

Al resolver esta operación, se puede ver cómo el resultado es exactamente igual al conjunto dado, por lo que entonces se toma como comprobada la Propiedad Involutiva en el Conjunto complementario, puesto que el Complementario de un Complementario será el propio Conjunto sobre el cual se determinó el primer complementario:

(A^∁)^∁ = A

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