Propiedad no conmutativa de la potenciación

La potenciación

En este sentido, se puede comenzar por decir que las Matemáticas conciben la potenciación como una operación, orientada a descubrir cuál es el producto de la multiplicación de un número en sí mismo tantas veces como indique otro número. Por consiguiente, los distintos autores han optado por describirla igualmente como una multiplicación abreviada.

Elementos de la potenciación

Así mismo, esta disciplina ha señalado que dentro de la potenciación se pueden identificar tres elementos, los cuales constituyen a esta operación, y que serán definidos de la siguiente manera:

• Base: será considerado el primer número de la operación. Está constituido por un número que se multiplicará a sí mismo tantas veces como lo indica el segundo elemento.
• Exponente: por su parte, el exponente será considerado como el segundo número de la potenciación. Su función será indicar cuántas veces deben multiplicarse en sí mismo el número que sirve de base a la operación. Por lo general, se escribirá en forma de superíndice, en la esquina derecha superior de la base.
• Potencia: finalmente, la potencia es el resultado final de la operación, es decir el producto de la multiplicación de la base por sí misma, tantas veces como indique el exponente.

Ejemplo gráfico de la potenciación

No obstante, quizás la forma más eficiente de completar una explicación sobre la potenciación sea ofrecer un ejemplo gráfico, en donde pueda verse qué es lo que sucede en realidad durante una operación de potenciación, tal como el que se expone a continuación:

Suponiendo que se tenga un conjunto de 6 círculos: ○○○○○○, y se quiera calcular la potencia de 2 sobre este grupo, será necesario entonces hacer que los elementos de esta colección se multipliquen a sí mismos un total de cuatro veces:

6² =  ○○○○○○ x ○○○○○○=

Hecho esto se deberá entonces resolver la multiplicación planteada, recordando que una operación de este tipoi consiste en una suma abreviada de un elemento sobre sí mismo, tantas veces indique un segundo número:

6 x 6=  ○○○○○○ + ○○○○○○ + ○○○○○○ + ○○○○○○ + ○○○○○○ + ○○○○○○=
6 x 6=  ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○= 36

De esta forma, se tendrá entonces que 6 elevado a 2 es igual a 36 →  6² = 36

Propiedad no conmutativa de la potenciación

Con estas definiciones presentes, quizás sí sea mucho más sencillo aproximarse a la definición de la Propiedad no conmutativa de la potenciación. En este orden de ideas, puede que sea positivo recordar también que la Propiedad conmutativa es descrita de forma general como una Ley matemática que indica cómo en algunas operaciones los factores que intervienen en ella pueden cambiar o alterar su orden sin que esto repercuta de alguna forma en el resultado. Es decir, que “el orden de los factores no altera el producto”.

No obstante, la potenciación no es una de las operaciones en donde esta propiedad conmutativa tenga lugar, puesto que si base y exponente alternan o cambian sus lugares, la operación conducirá cada vez a resultados diferentes, estos debido básicamente a que al cambiar la base, cambia el número que debe multiplicarse a sí mismo, así como se produce una alteración en las veces que debe multiplicarse si el exponente varía. Por ende, se considera que en la potenciación tiene lugar la Propiedad no conmutativa:

a^b ≠ b^a

Sin embargo, puede que la mejor forma de entender cómo no se cumple o no es posible el atributo cuantitativo en esta operación sea a través de un ejemplo, tal como el que se muestra seguidamente:

Si se tiene la siguiente potenciación 5⁶  el resultado será 15.625
Mientras que si invierto los términos: 6⁵ se obtendrá como potencia 7.776

Por consiguiente, queda comprobada la Propiedad no conmutativa de la potenciación.

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