Propiedad no conmutativa del Producto cartesiano

Es probable que, antes de explicar el por qué el Producto cartesiano no responde a la Propiedad conmutativa, sea conveniente revisar algunas definiciones, que permitirán entender esta propiedad en su contexto específico.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, quizás el primer concepto que deberá revisarse es el del conjunto, a fin de poder entender el objeto matemático en base al cual ocurre la operación de Producto cartesiano. Así mismo, resulta también necesario traer a capítulo la definición de esta operación, propia del Álgebra de conjuntos, pues es en ella donde tiene lugar la propiedad de no conmutación. A continuación, cada uno de ellos:

Conjunto

En tal sentido, se puede comenzar entonces por decir que el Conjunto puede ser entendido como una agrupación o grupo de elementos, entre los cuales puede distinguirse un rasgo en común, de ahí que pueden ser entendidos entonces como un grupo o parte de una sola naturaleza, por lo que además pueden considerarse en sí mismo una colección abstracta. Igualmente, las distintas fuentes matemáticas coinciden en señalar que dentro del conjunto puede resaltarse una característica principal: el que éste se encuentra conformado y definido, de forma constante, única y exclusiva por sus elementos.

Producto cartesiano

Por otro lado, el Producto cartesiano ha sido definido como una operación, propia del Álgebra de conjuntos, en donde un conjunto A y un conjunto B establecen una operación de multiplicación, que da origen a un conjunto tipo A x B, en donde se pueden contar como elemento una serie de pares ordenados, que se han originado del producto de cada uno de los elementos del conjunto A por los elementos del conjunto B. En cuanto a la expresión matemática de esta operación, puede considerarse la siguiente forma:

A x B= (a,b)

Propiedad no conmutativa del Producto cartesiano

Teniendo estas definiciones presentes, puede que sea mucho más sencillo entrar a revisar en qué se basa el carácter no conmutativo del Producto cartesiano. En este sentido, básicamente, las distintas fuentes entran a explicar que toda vez que se establezca un conjunto A y un conjunto B, no pueden considerarse como equivalentes los productos obtenidos en base a los distintos órdenes de multiplicación, que se establezcan entre ellos. Por consiguiente, en el caso del Producto cartesiano no se puede afirmar que el orden de los factores no altera el producto, puesto que en esta operación no se cumple el principio básico de la Propiedad Conmutativa, por ende:

A x B ≠  B x A

Ejemplo de propiedad no conmutativa en el Producto cartesiano

No obstante, puede que la forma más eficiente de explicar el por qué no es posible hablar de Propiedad conmutativa dentro la operación de Producto cartesiano, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, que permita verificar si en efecto la alteración en el orden de los factores conduce a conjuntos diferentes. A continuación, entonces, un ejemplo de cómo se cumple el carácter no conmutativo en el Producto cartesiano:

Dado un conjunto A= {1, 2, 3, 4, 5} y un conjunto B= {a, b, c} establecer entre ellos operaciones de Producto cartesiano, en distinto orden, a fin de poder examinar si se cumple o no la propiedad no conmutativa.

A fin de dar cumplimiento a la solicitud hecha en este ejercicio, se deberá comenzar por presentar los conjuntos y cada uno de los órdenes y operaciones de Producto cartesiano:

A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {a, b, c}

Primer orden:

A x B=
A x B= {1, 2, 3, 4, 5} x {a, b, c}
A x B= {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c), (4,d), (5,a), (5,b), (5,c)}

Segundo orden:

B x A=
B x A= {a, b, c} x {1, 2, 3, 4, 5}
B x A= {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5)}

Obtenidos ambos resultados, se podrán comparar, concluyendo que en efecto al invertir el orden de los factores en el Producto cartesiano se obtienen conjuntos distintos, pues los pares ordenados de cada colección resultante no pueden considerarse equivalente, por lo que se considera entonces comprobado el carácter no conmutativo de esta operación:

A x B ≠ B x A

{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c), (4,d), (5,a), (5,b), (5,c)} ≠ {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5)}

 

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Propiedad no conmutativa del Producto cartesiano