Propiedades de la Multiplicación de monomios

En el campo del Álgebra elemental, se conoce con el nombre de Multiplicación de monomios a la operación por medio del cual se busca hallar el producto existente entre un monomio y otra expresión algebraica, bien si se trata de un monomio, un término independiente o incluso un polinomio (suma finita  de monomios y términos independientes).

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Cómo realizar la multiplicación de monomios

Así mismo, esta disciplina matemática indica que –como toda operación algebraica- la Multiplicación de monomios se debe a una serie de pasos y operaciones, a fin de poder obtener el producto. En este sentido, se podrían resumir los pasos de la multiplicación de monomios, en los siguientes ítems:

  • En primer lugar, se deberá revisar los términos involucrados en la operación, a fin de saber ante qué expresiones se está, y si efectivamente, al menos una de ellas puede ser considerada un monomio.
  • Hecho esto, se pasará entonces a revisar los literales de cada término, a fin de comprender si se tratan de variables de la misma base, o de diferente, puesto que en la multiplicación de monomios no es imprescindible –como sí lo es en la suma y la resta- que los términos sean iguales.
  • Seguidamente, se procederá –tomando en cuenta la Ley de signos- a multiplicar los signos que acompañan los elementos numéricos involucrados en la operación.
  • Así también, se multiplicará el valor de los elementos numéricos, es decir de los coeficientes de los monomios, o del valor del término independiente.
  • A este resultado, se le atribuirá el elemento literal existente en los términos que se multiplican, tomando en cuenta que si ambos términos cuentan con la misma base, se deberá colocar tal cual en el resultado, y en caso de que sean de bases diferentes, igualmente se anotarán juntas, y en orden alfabético, al lado del número.
  • Finalmente, se deberán sumar los exponentes que se encuentren en los literales de igual base de ambos términos.

Propiedades de la multiplicación de monomios

Por otro lado, el Álgebra elemental indica también que esta operación responde a ciertas propiedades matemáticas, que rigen las operaciones de Multiplicación de monomios, y que pueden describirse de la siguiente manera:

Propiedad conmutativa

La primera propiedad que puede distinguirse será la Conmutativa, la cual dicta que el orden en los factores (en este caso los monomios y las distintas expresiones algebraicas por las que se multipliquen) no afectarán el producto final. En este sentido, esta propiedad matemática, inherente a la multiplicación de monomios puede expresarse de la siguiente manera:

a(x). b(x)=  b(x) . a(x)

Sin embargo, resulta pertinente también exponer algunos casos que puedan servir para apreciar cómo esta Ley puede ser llevada a la práctica. A continuación, algunos ejemplos de cómo se aplica la Propiedad Conmutativa en la Multiplicación de monomios:

5x2 . 3x3 =  (5.3)x2+3 = 5x5 →  3x3 . 5x2  =  (3.5)x3+2 = 5x5

2x3y . 7x =   (2.7)x3+1y = 14x3y →  7x . 2x3y = (7.2)x1+3y = 14x3y

8x2yz . -xyz= (8. -1)x2+1y1+1z1+1 = -8x3y2z2 → -xyz . 8x2yz= (-1.8)x1+2y1+1z1+1 = -8x3y2z2

Propiedad asociativa

Igualmente, la Multiplicación de monomios responde a la Propiedad Asociativa, puesto que sus factores pueden agruparse de distintas formas, sin que estas posibles agrupaciones afecten de alguna forma el resultado o producto final. La expresión matemática de esta propiedad puede ser la siguiente:

(ax. bx).cx = ax.(bx. cx)

Al involucrar varios términos, por lo general la aplicación o puesta en práctica de esta propiedad matemática puede verse con mayor evidencia con polinomios, expresiones algebraicas conformadas por monomios y términos independientes. En consecuencia, en este caso será necesario exponer también una operación que puede servir de ejemplo preciso de la Propiedad asociativa en la Multiplicación de monomios :

Dada la siguiente operación 4x2yz . 3xy . 5y=  verificar si en realidad se obtienen iguales resultados, asociando de forma distinta los factores de la multiplicación:

Primera agrupación, de forma (ax. bx).cx

(4x2yz . 3xy) . 5y=
(4.3x2+1y1+1z) . 5y=
(12x3y2z) . 5y=
(12.5x3y2+1z) =   60x3y3z

Segunda agrupación, de forma ax .(bx. cx)

4x2yz . (3xy . 5y)=
4x2yz . (3. 5)xy1+1=
4x2yz . (15)xy2= 60x2+1y1+2z =  60x3y3z

Por ende, se concluye que ciertamente (4x2yz . 3xy) . 5y= 4x2yz . (3xy . 5y) por lo que se comprueba que en efecto se cumple la Propiedad Asociativa.

Así mismo, al estar los polinomios conformados por monomios, esta Propiedad Asociativa también puede verse evidenciada en la multiplicación de este tipo de propiedad. Un ejemplo puede ser el que se ofrece a continuación:

Dada la siguiente operación (5×2 – 3y) . (2x + y4) . (8z – 3)=  se puede resolver asociando indistintamente sus términos, a fin de comprobar que en realidad la operación conduce al mismo producto:

Primera agrupación, de la forma (ax. bx).cx:

[(5x2 – 3y) . (2x + y4)] . (8z – 3)=
[(5x2.2x) + (5x2. y4) + (-3y.2x) + (-3y . y4)] . (8z – 3)=
[(5.2)x2+1+ (5.1)x2y4 + (-3.2)xy + (-3.1)y1+4)] . (8z – 3)=
[(10)x3+ 5x2y4 + (-6)xy + (-3)y5)] . (8z – 3)=
[10x3+ 5x2y4 -6xy + (-3)y5)] . (8z – 3)=
(10x3+ 5x2y4 – 6xy – 3y5) . (8z – 3)=

(10x3. 8z)+(5x2y4. 8z)+ (-6xy. 8z) + (-3y5. 8z) + (10x3 . -3) + (5x2y4. -3) + (- 6xy. -3) + (-3y5. –3)=
(10.8)x3z+(5. 8)x2y4z+ (-6.8) xyz + (-3. 8)y5z + (10. -3)x3 + (5. -3) x2y4+ (- 6. -3) xy+ (-3. –3)y5=
(80)x3z+(40)x2y4z+ (-48)xyz + (-24)y5z + (-30)x3 + (-15)x2y4+ (18)xy+ (9)y5=
80x3z + 40x2y4z – 48xyz – 24y5z – 30x3 -15x2y4+18xy+ 9y5 

Tomando a la variable x como letra ordenatriz, se procederá a ordenar de forma descendente la expresión:

80x3z – 30x3 + 40x2y4z -15x2y4+18xy – 48xyz – 24y5z + 9y5

Resultado final:

[(5x2 – 3y) . (2x + y4)] . (8z – 3)=  80x3z – 30x3 + 40x2y4z -15x2y4+18xy – 48xyz – 24y5z + 9y5

 

Segunda agrupación, de forma ax.(bx. cx)

(5x2 – 3y) . [(2x + y4) . (8z – 3)]=
(5x2 – 3y) . [(2x.8z) + (y4.8z) + (2x.-3) + (y4. -3)]=
(5x2 – 3y) . [(2.8)xz + (1. 8)y4z + (2.-3)x + (1. -3)y4]=
(5x2 – 3y) . [16xz + 8y4z + (-6)x + (-3)y4]=
(5x2 – 3y) . (16xz + 8y4z -6x -3y4)=

(16xz.5x2)+ (8y4z.5x2) +(-6x.5x2) + (-3y4.5x2) + (16xz . -3y) + (8y4z. -3y)+ (-6x.-3y) + (-3y4. -3y)=

(16.5)x2+1z +(8.5)x2y4z +(-6.5x2+1) +(-3.5)x2y4+(16.- 3)xyz + (8. -3y4+1z)+ (-6.-3)xy+ (-3.-3 y4+1)=

(30)x3z +(40)x2y4z +(-30x3) +(-15)x2y4+(-48)xyz + (-24)y5z + (18)xy+ (9y5)=

30x3z +40x2y4z -30x3 -15x2y4 -48xyz -24y5z +18xy+ 9y5

 

Se tomará igualmente la x como letra ordenatriz, y de dispondrá el polinomio de forma descendente:

30x3z -30x3 +40x2y4z -15x2y4+18xy -48xyz -24y5z + 9y5

 

Resultado final:

(5x2 – 3y) . [(2x + y4) . (8z – 3)]= 30x3z -30x3 +40x2y4z -15x2y4+18xy -48xyz -24y5z + 9y5

 

Al dar igual resultado ambas formas de agrupación, se puede concluir entonces que efectivamente se cumple la Propiedad Asociativa:

[(5x2 – 3y) . (2x + y4)] . (8z – 3) =(5x2 – 3y) . [(2x + y4) . (8z – 3)]

Elemento neutro

De la misma forma, en la Multiplicación de polinomios también se puede encontrar un elemento neutro, que en este caso será equivalente a un monomio que siempre será 1, y que al multiplicar otro monomio, no alterará sus distintos valores. Esta propiedad cuenta con la forma matemática:

                                                                                    ax.(1)= ax

 

Un ejemplo de este tipo de propiedad puede ser el siguiente:

Dado el monomio 3xyz y el término independiente 1 proceder a multiplicarlos:

3xyz . 1=  3xyz

Imagen: pixabay.com

Propiedades de la Multiplicación de monomios
junio 14, 2017

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