Propiedades de la operación de Diferencia entre conjuntos

Tal vez, previo a abordar las distintas propiedades matemáticas que pueden observarse en la Diferencia entre conjuntos, deba revisarse de forma breve la propia definición de esta operación, a fin de poder entender a cada una de estas propiedades en su contexto adecuado.


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Diferencia entre conjuntos

De esta manera, se puede comenzar por decir que la Diferencia entre conjuntos puede ser definida como una operación propia del Álgebra de Conjuntos, en la cual dos conjuntos establecen una relación de Diferencia, dando lugar a un tercer conjunto, conformado por todos aquellos elementos que constituyen en el primer conjunto, y que no encuentran semejante en la segunda colección. En otras palabras, en una operación de Diferencia, se establece esta relación entre un conjunto A y un conjunto B, constituyendo un conjunto A\B en donde pueden contarse como elementos aquellos que estando en A no pueden ser encontrados en el conjunto B.

Pasos para realizar la operación de Diferencia

Por otro lado, el Álgebra de conjuntos también ha señalado cuál es el método que debe seguirse a la hora de resolver una operación de Diferencia entre dos conjuntos, y que puede resumirse en los siguientes pasos:

  • En primer lugar, se debe plantear la operación que se realizará, por lo que se expresarán los nombres de cada uno de los conjuntos que participarán de la operación, relacionándolos con un signo de barra invertida o backslash (\). Algunas fuentes optan también por usar un guión, no obstante la opción predominante es la de la barra oblicua o invertida.
  • Así mismo, se agregará a esta expresión un signo de igual (=) seguido por cada uno de los conjuntos que participan de la operación.
  • Se comparan entonces los elementos de cada uno de los conjuntos, conformando entonces un tercer conjunto, en donde se anotarán como elementos sólo aquellos que se pueden observar tan solo en el primer conjunto. Esta nueva colección será interpretada como el resultado de la operación.

Propiedades de la operación de Diferencia

Revisada esta definición, así como los aspectos relacionados con ella, será mucho más sencillo aproximarse a cada una de las propiedades que el Álgebra de conjuntos señala como inherentes a esta operación, y que se encuentran relacionadas, casi en su totalidad, con el Elemento Neutro, que en el caso de esta disciplina es asumido por el Conjunto vacío (∅). A continuación, algunas de ellas:

  • En este sentido, se puede distinguir como una de las primeras propiedades matemáticas de la Diferencia entre conjuntos a aquella Ley que indica que cuando un conjunto cualquiera establece una relación de diferencia con el Conjunto vacío –o el Elemento neutro- el resultado será el propio conjunto. Esto se explica porque al comparar los elementos de cada conjunto, la diferencia estará constituida por la totalidad de elementos que se observan en el primer conjunto que sí tiene elementos, y que por supuesto no coincidirá con ninguno de los elementos del Conjunto vacío, pues estos no existen. Esta propiedad podrá ser expresada de la siguiente manera:

A\∅ = A

  • Por otro lado, el Álgebra de conjuntos también indica que cuando un conjunto establece una relación de Diferencia consigo mismo, el resultado de esta operación será el Conjunto vacío, puesto que al comparar los elementos del conjunto consigo mismo, por supuesto no se podrá encontrar ningún elemento que no coincida. En consecuencia, se generará un tercer conjunto en donde no podrá distinguirse ningún elemento, de ahí que se interprete que la Diferencia de un conjunto consigo mismo es igual al Conjunto vacío:

A\A= ∅

  • Así mismo, esta disciplina matemática señala que toda operación de Diferencia entre dos conjuntos sólo podrá dar como resultado el Conjunto vacío cuando el primer conjunto es un subconjunto del segundo. En este caso, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto encontrará su semejante en el segundo conjunto, por lo que el tercer conjunto que se establezca no contará con ningún elemento, por lo que será considerado como el Conjunto vacío:

A\ B = ∅ ↔ A ⊆ B

  • De igual manera, el Álgebra de Conjuntos señala que en el caso de que dos Conjuntos sean disjuntos, es decir, que no tengan entre ellos ningún elemento en común, al establecer una operación de Diferencia se creará un conjunto que coincida de forma plena con el primer conjunto, es decir, que si un conjunto A no tiene ningún elemento en común con un conjunto B, y estas colecciones llegan a establecer una operación de Diferencia, el resultado será el mismo conjunto A, pues no habrá ningún elemento que no deba mencionarse por encontrarse también en el conjunto B:

A\B= A ↔ A∩B = ∅

  • También, el Álgebra de conjuntos ha señalado la propiedad matemática que se puede observar en la operación de Diferencia, respecto a la Intersección, declarando que los conjuntos creados en base a estas operaciones (recordando que la Intersección produce un conjunto con los elementos comunes, mientras que la Diferencia lo hace en base a los elementos que no coinciden) son disjuntos, es decir, que al ser sometidos a una operación de Intersección entre ellos, el resultado será el Conjunto vacío, lo cual puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma: (A∩B) ∩ (A\B)= ∅

Sin embargo, quizás la forma más eficiente de explicar esta propiedad sea a través de un caso concreto, que pueda servir de ejemplo, como este que se expone a continuación:

Dado un conjunto A, conformado por nombres femeninos que comienzan por “m”: A= {Magaly, Mery, Milady, Martha, Maigualida} y un conjunto B constituido por nombres femeninos en general, B= {Fabiana, Paola, Magaly, Diana, Mery, Patricia, Martha} comprobar cómo se cumple la propiedad que dicta que la Intersección entre la Intersección y la Diferencia entre estos conjunto da como resultado el Conjunto vacío.

Para esto, se deberá comenzar por realizar cada una de las operaciones iniciales:

A= {Magaly, Mery, Milady, Martha, Maigualida}
B= {Fabiana, Paola, Magaly, Diana, Mery, Patricia, Martha}

A∩B=

A∩B= {Magaly, Mery, Milady, Martha, Maigualida} ∩ {Fabiana, Paola, Magaly, Diana, Mery, Patricia, Martha}
A∩B= {Magaly, Mery, Marhta}

A\B=

A\B= {Magaly, Mery, Milady, Martha, Maigualida} \ {Fabiana, Paola, Magaly, Diana, Mery, Patricia, Martha}

A\B= {Milady, Maigualida}

Hecho esto, se habrán creado entonces dos nuevos conjuntos, con los que se realizará nuevamente una operación de Intersección:

A∩B= {Magaly, Mery, Marhta}
A\B= {Milady, Maigualida}

(A∩B) ∩ (A\B)=
(A∩B) ∩ (A\B)= {Magaly, Mery, Marhta} ∩ {Milady, Maigualida}
(A∩B) ∩ (A\B)= ∅

Al hacerlo, se puede ver cómo al intentar crear un Conjunto con los elementos que resultan comunes a los dos conjuntos, sólo se logra un conjunto en donde no existen elementos, por lo que se interpreta entonces que se trata de un Conjunto vacío.

  • Por otro lado, el Álgebra de conjuntos también afirma que en el momento en que se establece una operación de Unión entre la Intersección de dos conjuntos y la Diferencia entre ellos, el resultado podría ser una partición del primer conjunto, es decir, un subconjunto de A diferente al Conjunto vacío. Esta propiedad podría expresarse por su parte de la siguiente manera:

(A∩B) ∩ (A\B)= A

  • Finalmente, esta disciplina matemática señala la propiedad que se puede ver en la Diferencia de conjuntos con respecto al Complemento del conjunto, declarando que la diferencia entre el Conjunto Universal y el mismo dará como resultado un complemento de este conjunto:

Ω =Ω \ Ω

Imagen: pixabay.com

Propiedades de la operación de Diferencia entre conjuntos
junio 26, 2017

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