Propiedades de la operación de Unión (Álgebra de Conjuntos)

Tal vez, antes de entrar a describir las distintas propiedades que pueden identificarse en la operación de Unión, sea pertinente recordar la definición y naturaleza de esta operación, a fin de poder comprender estas propiedades en su contexto apropiado.

Operación de Unión

En este sentido, resulta entonces conveniente comenzar dicha revisión por la propia definición de la operación de Unión, la cual es vista como una operación básica del Álgebra de Conjuntos, por medio del cual los elementos de un conjunto determinado se unen al total de elementos de otro conjunto, constituyendo un tercer conjunto, conformado a su vez por todos los elementos que pueden verse tanto en una como en otra de las colecciones que estas conforman.

Notación de la Operación de Unión

Con respecto a la forma correcta de hacer la notación de este tipo de operación, el Álgebra de Conjuntos ha señalado igualmente algunas normas que deberán cumplirse, y entre las cuales se encuentran las siguientes:

  • El signo que sirve para denotar la operación de unión corresponderá a ∪, el cual deberá colocarse entre los nombres de los distintos conjuntos, involucrados en la operación de unión.
  • Así mismo, el nombre de este nuevo conjunto deberá ser seguido de un signo de igual (=) que será predecesor a su vez del listado de la nueva colección creada en base a la unión de estos dos objetos o conjuntos.
  • Se procederá entonces a nombrar cada uno de los elementos que pertenecen a los conjuntos que se han unido, a fin de crear una sola lista, que será separada por comas, y contenida entre signos de puntuación.

Propiedades de la operación de Unión

Vistas estas nociones, será mucho más sencillo explicar entonces las distintas propiedades matemáticas, que como toda operación algebraica, tiene la Unión de conjuntos, y que básicamente pueden ser resumidas de la siguiente manera:

Propiedad idempotente

Conocida con el nombre de idempotente, esta propiedad inherente a la operación de Unión –aun cuando también puede encontrarse en la operación de intersección- sirve para indicar que en el momento en que la unión de un conjunto con él mismo, da como resultado el mismo conjunto. La expresión matemática de esta propiedad corresponde a la siguiente forma:

A U A =  A

Sin embargo, quizás la forma más eficiente de explicar este tipo de propiedad, sea a través de la exposición de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Si se tuviese un conjunto A, constituido por razas de perros, y se procediera a unirse a sí mismo, se obtendría como resultado el propio conjunto, principalmente porque al tener dos conjuntos con los mismos objetos, simplemente a la hora de realizar la Unión, solo se nombrará una vez, por ende, se obtendrá el mismo conjunto:

A = {Pastor alemán, Beagle, Pit bull, Bóxer, San Bernardo, Golden retriever}

A U A = {Pastor alemán, Beagle, Pit bull, Bóxer, San Bernardo, Golden retriever}

Por ende → A U A= A

Propiedad conmutativa

Otra de las propiedades matemáticas que puede distinguirse en la operación de Unión de conjuntos es la Conmutativa, la cual indica que no importa el orden en el cual se vayan uniendo los distintos conjuntos, pues estos arrojarán el mismo conjunto, es decir,  la misma colección de elementos. La forma matemática de expresar esta propiedad puede ser la siguiente:

A  U  B =  B U A

No obstante, quizás la mejor forma de aproximarse a esta propiedad de la Unión de Conjuntos sea a través de un ejemplo, tal como el que se muestra a continuación:

Suponiendo que se tiene un conjunto A, constituido por colores cálidos: A = {Rojo, Marrón, Ocre, Anaranjado…} y un conjunto B, conformado por colores en general: B = {Negro, Gris, Azul, Verde, Turquesa…} se someterán a la operación de Unión, uniendo primero el conjunto A al B (A U B) y luego al contrario (B U A) a fin de comprobar si ciertamente en esta operación se cumple la propiedad conmutativa:

A = {Rojo, Marrón, Ocre, Anaranjado}
B = {Negro, Gris, Azul, Verde, Turquesa}

A U B = {Rojo, Marrón, Ocre, Anaranjado, Negro, Gris, Azul, Verde, Turquesa}

A = {Rojo, Marrón, Ocre, Anaranjado}
B = {Negro, Gris, Azul, Verde, Turquesa}

B U A = {Negro, Gris, Azul, Verde, Turquesa, Rojo, Marrón, Ocre, Anaranjado}

Como puede verse, aún en distinta disposición, ambas formas de hacer la operación de Unión entre estos conjuntos, arroja como resultado la misma colección de elementos, de ahí que se compruebe entonces que ciertamente se cumple la propiedad conmutativa, puesto que A U B = B U A.

Propiedad asociativa

Así mismo, en la Unión de conjuntos puede verse cómo se cumple la Propiedad asociativa, la cual indica cómo,  en el caso de que se unan tres o más conjuntos, no importará el orden en que estas uniones vayan dándose, pues finalmente se obtendrá iguales resultados, es decir, finalmente se obtendrá un conjunto conformado por el total de elementos que puedan verse en cada uno de los conjuntos que participan de la operación. La forma matemática de expresar la Propiedad asociativa en la Unión de Conjuntos será la siguiente:

(A  U  B)  U  C  =   A  U  (B U C)

Empero, tal vez la mejor forma de explicar cómo se cumple esta propiedad sea a través de la presentación de un ejemplo, en donde pueda verse realmente cómo sin importar el orden en el que se van realizando las uniones de los distintos conjuntos, se consigue finalmente la misma colección de elementos:

Si se llegarán a tener un conjunto A, conformado por instrumentos musicales de cuerda: A = {Guitarra, Bajo, Bandolina, Cuatro, Violín} así también como un conjunto B, constituido por instrumentos de percusión B = {Tambor, Batería, Timbal, Bongó} y un tercer conjunto en donde pudiesen contarse instrumentos musicales en general C = {Piano, Clarinete, Flauta, Triángulo, Xilófono} podría realizarse la operación de unión,  procediendo a establecer distintas asociaciones, sin alterar el conjunto final, tal como puede verse a continuación:

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A = {Guitarra, Bajo, Bandolina, Cuatro, Violín}
B = {Tambor, Batería, Timbal, Bongó}
C = {Piano, Clarinete, Flauta, Triángulo, Xilófono}

(A  U  B)  U  C=

A U B = {Guitarra, Bajo, Bandolina, Cuatro, Violín, Tambor, Batería, Timbal, Bongó}

(A  U  B)  U  C=  {Guitarra, Bajo, Bandolina, Cuatro, Violín, Tambor, Batería, Timbal, Bongó, Piano, Clarinete, Flauta, Triángulo, Xilófono}

A  U  (B U C) =

B U C = {Tambor, Batería, Timbal, Bongó, Piano, Clarinete, Flauta, Triángulo, Xilófono}

A  U  (B U C) = {Guitarra, Bajo, Bandolina, Cuatro, Violín, Tambor, Batería, Timbal, Bongó, Piano, Clarinete, Flauta, Triángulo, Xilófono}

 

De esta manera, sin importar el orden o las asociaciones que se vayan dando entre los conjuntos que participan de la Unión, se obtendrá el mismo conjunto, en donde sin importar la disposición u orden, se podrán encontrar los mismos elementos, de ahí que se compruebe que realmente se cumple la propiedad asociativa, por lo que  (A  U  B)  U  C  =   A  U  (B U C)

 

Propiedad distributiva (con respecto a la Intersección)

De igual forma, el Álgebra de conjuntos señala que la operación de Unión de conjuntos responde a la Propiedad Distributiva en referencia a la operación de intersección (operación del Álgebra de Conjuntos, que puede ser definida a su vez como la  operación dirigida a formar un conjunto en base solo a aquellos elementos semejantes a los conjuntos que participan en la operación). En este sentido, en cuanto a la Propiedad Distributiva, la norma indica que la intersección de dos conjuntos en unión con otro conjunto será igual a la intersección de las respectivas uniones del tercer conjunto con aquellos que se encontraban participando de la intersección, propiedad esta que también puede ser representado por la siguiente expresión matemática:

(B ∩ C) ∪ A =  (B ∪ A) ∩ (C ∪ A)

Igualmente, surge como necesario, en aras de comprender realmente lo que dicta esta propiedad, realizar un ejercicio, para determinar cómo se cumple.  A continuación, un ejemplo de la Propiedad Distributiva en la unión de conjuntos:

Suponiendo que se tiene un conjunto A, conformado por deportes acuáticos: A = {Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}  así también como un conjunto B, constituido por deportes al aire libre B = {Correr, Trotar, Senderismo, Baloncesto, Fútbol} y un conjunto C conformado por deportes que se practican con balones C = {Tenis, Baloncesto, Fútbol, Voleibol, Béisbol} se puede entrar a comprobar si en verdad se puede hablar de propiedad distributiva en este caso:

A = {Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}
B = {Correr, Trotar, Senderismo, Baloncesto, Fútbol}
C = {Tenis, Baloncesto, Fútbol, Voleibol, Béisbol}
B ∩ C = {Baloncesto, Fútbol}

(B ∩ C) ∪ A= {Baloncesto, Fútbol Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}

(B ∪ A) = {Correr, Trotar, Senderismo, Baloncesto, Fútbol, Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}

(C ∪ A) = {Tenis, Baloncesto, Fútbol, Voleibol, Béisbol, Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}

 

(B ∪ A) ∩ (C ∪ A)=  {Baloncesto, Fútbol, Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}

De esta manera se tienen entonces lo siguiente:

(B ∩ C) ∪ A= {Baloncesto, Fútbol Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}
(B ∪ A) ∩ (C ∪ A)=  {Baloncesto, Fútbol, Surf, Natación, Waterpolo, Windsurf, Remo}

Por ende, realmente se puede decir entonces que (B ∩ C) ∪ A =  (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) por lo que también se concluye entonces que la operación Distributiva de la operación de Unión de conjuntos, respecto a la intersección sí se cumple.

Propiedad de Absorción

Así también, se distingue entre las propiedades de Unión de conjuntos la Ley de Absorción, la cual indica que la Unión de un conjunto con la intersección que tiene este mismo conjunto con otro será igual al primer conjunto, lo que a su vez será igual a la intersección de este conjunto con la unión que puede tener con este otro, situación que puede ser expresada de la siguiente forma:

A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B)

Propiedad esta que resulta pertinente abordar también desde un ejemplo concreto, que permita ver el cómo se cumplen cada una de estas operaciones y relaciones de igualdad entre conjuntos. A continuación, un ejemplo de la Propiedad o Ley de Absorción en la operación de Unión de Conjuntos:

Suponiendo que se tiene un conjunto A, constituido por medios de transporte: A = {Avión, Barco, Helicóptero, Carro, moto, bicicleta} y un conjunto B, conformado por medios de transporte acuáticos: B= {Avión, Avioneta, Helicóptero, Cohete, Globo} comprobar cómo se puede cumplir la Propiedad de la Absorción: A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B)

A = {Avión, Barco, Helicóptero, Carro, moto, bicicleta}
B= {Avión, Avioneta, Helicóptero, Cohete, Globo}

A ∩ B= {Avión, Helicóptero}
A ∪ (A ∩ B)= Avión, Barco, Helicóptero, Carro, moto, bicicleta

Acá se puede concluir en primera instancia que A ∪ (A ∩ B)= A

A ∪ B = {Avión, Barco, Helicóptero, Carro, moto, bicicleta, Avioneta, Cohete, Globo}
A ∩ (A ∪ B) = {Avión, Barco, Helicóptero, Carro, moto, bicicleta}

Así mismo se concluye que en efecto A = A ∩ (A ∪ B)

Por ende se tiene que en este ejercicio realmente se cumple la Ley de Absorción, que responde a la forma A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B)

Elemento Neutro

Finalmente, el Álgebra de Conjuntos señala que la operación de Unión de Conjuntos responde a la Propiedad del elemento neutro, la cual indica que la unión de un conjunto A con el Conjunto vacío da como resultado el mismo conjunto. Esto puede ser expresado de forma matemática de la siguiente manera:

A ∪ ∅ = A

Imagen: pixabay.com

Propiedades de la operación de Unión (Álgebra de Conjuntos)
junio 19, 2017