Propiedades de la potenciación en números enteros

Definiciones fundamentales

Así también, puede que resulte prudente delimitar esta revisión teórica a dos nociones precisas. La primera de ellas, la propia definición de Números enteros, a fin de tener presente la naturaleza de los elementos numéricos involucrados. De igual manera, será de gran importancia el pasar revista sobre el concepto de Potencias de números enteros, por ser esta la operación matemática en base a la cual se sucede cada una de estas propiedades matemáticas. A continuación, cada uno de estas definiciones:

Números enteros

De esta manera, se abordará primeramente el concepto de Números enteros, los cuales han sido explicados por las Matemáticas como los elementos numéricos a través de los que se representan las cantidades exactas. Igualmente, los Números enteros son entendidos como los elementos en base a los cuales se constituyen el conjunto numérico del mismo nombre, o conocido también como conjunto Z, y en donde estos números se encuentran agrupados de la siguiente forma:

• Enteros positivos: por un lado, los enteros positivos –número que a su vez constituyen los Números naturales- se ubicarán a la derecha del cero en la Recta numérica. Se extenderán del 1 al ∞, y a través de ellos se podrá dar cuenta de cantidades contables, o contar los elementos de un conjunto.
• Enteros negativos: en segundo lugar, se encontrarán los enteros negativos, números que son considerados los inversos de los enteros negativos, razón por la cual se ubicarán a la izquierda del cero, en la recta numérica, extendiéndose del -1 al -∞. Estos números serán usados para expresar deudas o faltas de cantidades específicas, y deberán ser anotados siempre en compañía del signo menos.
• Cero: por último, el cero es considerado también un elemento del conjunto Z. Sin embargo, no es tenido como un número, sino como la ausencia total de cantidad. En consecuencia, este elemento no será ni positivo ni negativo, y será considerado inverso de sí mismo.

Potencias de números enteros

En otro orden de ideas, será igualmente importante lanzar luces sobre la definición de Potencias de números enteros, la cual podrá ser explicada a grandes rasgos como la operación matemática, ocurrida estrictamente en relación a números enteros, en donde un primer número de este tipo (al cual se llamará base) opta por multiplicarse a sí mismo, tantas veces como señale un segundo número (conocido como exponente)  con el propósito de conocer el producto (el cual recibirá el nombre de potencia).

Propiedades de potencias de números enteros

Teniendo presente estas definiciones, quizás ciertamente sea mucho más sencillo abordar la explicación sobre cada una de las Propiedades matemáticas que tienen lugar en la operación de Potencias de Números enteros, y pueden enumerarse de la siguiente manera:

Potencias de números enteros con exponente cero

En primer lugar, se tendrá entonces que cada vez que exista una operación de potencia en donde intervenga números enteros, y dicha potencia cuente con un exponente igual a cero, independientemente de la cantidad o signo de la base, el resultado será siempre igual a uno. Esta propiedad podrá ser expresada de la siguiente forma:

a⁰ = 1

Potencias de números enteros con exponente uno

Por otro lado, las Matemáticas señalan también que  toda operación de potenciación que se dé en base a números enteros, en donde el exponente sea igual a 1, más allá del valor o signo de la base, se obtendrá siempre como potencia el número equivalente al que ha servido de base. Esta propiedad será expresada matemáticamente de la siguiente manera:

a¹ = a

Producto de potencias de números enteros de igual base

Así también, dentro de las distintas propiedades matemáticas que tienen lugar en las potencias con números enteros se encontrará esta que hace referencia a la situación sostenida ente dos potencias de igual base de hayan optado por multiplicarse. En este caso, las Matemáticas señalan que la propiedad ordena que se asuma una sola base, se sumen los valores de sus exponentes, y finalmente  la base se eleve al total de los exponentes. Esta situación podrá ser explicada de la siguiente forma:

a^m .  aⁿ = a^m+n

Cociente de potencias de números enteros de igual base

De igual forma puede ocurrir que potencias de igual base decidan dividirse. En este caso, la propiedad matemática indica que se proceda a asumir una sola base, restar el valor de sus exponentes, y finalmente elevar la base a la diferencia de los exponentes, situación que podrá ser explicada matemáticamente de la siguiente forma:

a^m :  aⁿ =  a^m-n

Propiedad de una potencia de números enteros

Otra de las propiedades matemáticas que pueden encontrarse en relación a las potencias de números enteros es la llamada Potencia de una Potencia, en donde esta disciplina ordena entonces que los exponentes involucrados se multipliquen, para después elevar la base a este producto, obteniendo la potencia requerida. Esta propiedad se expresará de la siguiente forma:

(a^m)ⁿ =  a^m.n

Propiedad distributiva en la multiplicación de potencias de números enteros e igual exponente

También puede darse lugar a que dos potencias de distintas bases pero de iguales exponentes opten por multiplicarse. En este caso se podrá aplicar la Propiedad distributiva, permitiendo que se pueda resolver de dos maneras:

• La primera de ellas permitirá resolver el producto de la bases, para después elevar este resultado al exponente común:

aⁿ . bⁿ =  (a.b)ⁿ

• En segundo lugar, se podrá elevar cada una de las bases al exponente común, y después multiplicar cada una de las potencias:

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Propiedad distributiva en la división de potencias de números enteros de igual exponente

También, se podrá habar de Propiedad distributiva cuando se esté ante la división de potencias que involucren números enteros, y cuenten con un solo exponente. En este caso, este tipo de operaciones podrán ser resueltas igualmente de dos formas, gracias a la propiedad distributiva:

• De esta manera, podrá resolverse calculando en cociente de las bases, y luego elevando este resultado al exponente en común:

a^m: b^m= (a : b)^m

• Otra opción para resolver esta clase de operaciones será aquella en donde se eleve al exponente común cada una de las bases, para después proceder a dividir los distintos cocientes.

(a : b)^m  = a^m : b^m

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