Propiedades de la Relación de igualdad entre conjuntos

En el ámbito del Álgebra de Conjuntos, se conoce con el nombre de Igualdad a una relación entre conjuntos, la cual tiene lugar cuando dos o más conjuntos cuentan –sin importar el orden en el que se presenten- exactamente con los mismos elementos.


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Definición de Conjunto

Sin embargo, antes de continuar sobre el tema de la Igualdad de Conjuntos y sus propiedades, quizás sea pertinente recordar la propia definición de Conjunto, a fin de tener presenta la naturaleza de los objetos sobre los cuales se establece esta relación matemática. En este sentido, se puede comenzar por decir que las Matemáticas conciben al Conjunto como un objeto, conformado por un listado de elementos, entre los cuales puede distinguirse un rasgo en común, el cual les permite ser considerados como poseedores de la misma naturaleza, de ahí que puedan formar esta colección abstracta, conocida como Conjunto.

Características de los Conjuntos

Así mismo, las Matemáticas han señalado algunos aspectos que puede considerarse como las principales características de los Conjuntos, y que pueden resumirse de la siguiente manera:

  • El Conjunto está constituido por el listado de elementos.
  • Así mismo, las Matemáticas dictan que el Conjunto se puede considerar definido única y exclusivamente por los elementos que lo conforman.
  • De igual forma, la magnitud del Conjunto viene dado por la magnitud finita o infinita de los elementos que lo conforman.
  • Al haberse formado el Conjunto en base a una serie de elementos que responden a un mismo criterio de agrupación, se puede inferir que todo elemento nuevo que desee unirse a este Conjunto, deberá responder necesariamente a este requisito, de ahí que el Conjunto no corra riesgo de cambiar en la medida en que se van incorporando elementos a esta colección.

Propiedades de la Igualdad de Conjuntos

Igualmente, como toda relación matemática, la Igualdad de Conjuntos también es poseedora de algunas propiedades matemáticas, que pueden ser resumidas de la siguiente manera:

Propiedad reflexiva

La primera de ellas recibe el nombre de Reflexividad, indicando básicamente que en el ámbito de los Conjuntos Iguales, todo conjunto puede considerarse igual a sí mismo, es decir, que todo Conjunto establece una Relación de Igualdad consigo mismo, puesto que al colocarlo frente a su reflejo, por su puesto se encontrarán los mismos elementos. Con respecto a la expresión matemática a la que responde esta propiedad, las distintas fuentes coinciden en señalar la siguiente:

A = A

Un ejemplo de este tipo de propiedad, puede ser un conjunto A, conformado por los instrumentos musicales de cuerda:  A= {Cuatro, Guitarra, Arpa, Piano, Violín} al aplicar la Propiedad reflexiva, y colocar a este conjunto frente a él mismo, se obtiene entonces una relación de igualdad entre conjuntos:

A= {Cuatro, Guitarra, Arpa, Piano, Violín}
A= {Cuatro, Guitarra, Arpa, Piano, Violín}

{Cuatro, Guitarra, Arpa, Piano, Violín} = {Cuatro, Guitarra, Arpa, Piano, Violín}

A = A

Propiedad simétrica

Por su parte, la Propiedad Simétrica estipula que si un conjunto A establece una relación de igualdad con un conjunto B, se asume que por simetría, el conjunto B también resulta igual al conjunto A. Esta propiedad puede ser expresada a su vez matemáticamente, de la siguiente manera:

A = B →  B = A

Un ejemplo de esto, lo puede constituir un caso en donde se tenga un conjunto A, conformado por nombres de mujeres que empiezan por la letra “m”:   A = {Mirian, Marian, Marilyn, Madeilen, Madisson} y un conjunto B, en donde puedan contarse como elementos nombres femeninos que terminen en la letra “n”:  B= { Mirian, Marian, Marilyn, Madeilen, Madisson}. Al establecer una relación de igualdad entre ellos, se podrá ver también cómo se cumple la Propiedad simétrica:

A = {Mirian, Marian, Marilyn, Madeilen, Madisson}
B= {Mirian, Marian, Marilyn, Madeilen, Madisson}

{Mirian, Marian, Marilyn, Madeilen, Madisson} = {Mirian, Marian, Marilyn, Madeilen, Madisson}

A= B

A = B → B = A

Propiedad transitiva

Finalmente, la Propiedad transitiva en la Igualdad de Conjuntos vendría a decir que si un determinado conjunto A resulta igual a un conjunto B, el cual a su vez sostiene una relación de igualdad con un conjunto C, por Propiedad Transitiva entonces el primer conjunto A resulta igual que el conjunto C. Esta propiedad por su parte contaría con la siguiente expresión matemática:

Así mismo, un ejemplo de cómo se cumple este tipo de propiedad puede darse en base a un conjunto A, conformado por instrumentos de cuerda: A = {Violín, Viola, Violonchelo}; un conjunto B, en donde puedan contarse instrumentos que empiezan por la letra “v”:  B= {Violín, Viola, Violonchelo}, y un conjunto C constituido por los instrumentos de la familia de los violines: C= {Violín, Viola, Violonchelo}.

En este orden de ideas, se puede ver entonces cómo el conjunto A puede establecer una relación de Igualdad con el conjunto B:

A = {Violín, Viola, Violonchelo}
B= {Violín, Viola, Violonchelo}

{Violín, Viola, Violonchelo} = {Violín, Viola, Violonchelo}
A = B

Así mismo, se puede ver cómo el conjunto B establece una relación de Igualdad con el conjunto C:

B= {Violín, Viola, Violonchelo}
C= {Violín, Viola, Violonchelo}.

{Violín, Viola, Violonchelo} = {Violín, Viola, Violonchelo}
B = C

Sin embargo, si se considera que A = B  y  a su vez B = A, se puede entonces concluir que por Propiedad transitiva, A también puede establecer una relación de Igualdad con C:

A = {Violín, Viola, Violonchelo}
C = {Violín, Viola, Violonchelo}

{Violín, Viola, Violonchelo} = {Violín, Viola, Violonchelo}
A = C

Imagen: pixabay.com

Propiedades de la Relación de igualdad entre conjuntos
junio 22, 2017

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