Propiedades de la Relación de Inclusión (Conjuntos)

En el ámbito del Álgebra de conjuntos, se entiende como Inclusión a una relación que se da entre conjuntos, en el momento en que los elementos de un conjunto se encuentra de forma plena y absoluta en otro conjunto, por lo que se habla de que esta primera colección es subconjunto o se encuentra incluida en el segundo conjunto.

Definición de Conjunto

Sin embargo, antes de avanzar sobre aquellos rasgos que pueden ser entendidos como propiedades de la Inclusión entre conjuntos, quizás sea apropiado revisar de forma breve la definición de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza del objeto en base al cual tiene cabida esta relación. En este sentido, se puede comenzar por decir que el Conjunto puede ser definido como una colección abstracta de elementos en donde puede identificarse un rasgo en común, es decir, que pueden considerarse  pertenecientes a una misma naturaleza.

Características del Conjunto

De igual forma, las Matemáticas han señalado algunos rasgos de este Conjunto, los cuales pueden ser entendidos como características propias de este tipo de objeto, y que pueden resumirse básicamente en los siguientes:

  • En primer lugar, se asume que el Conjunto está conformado por los elementos que lo constituyen.
  • Así mismo, se entiende que los únicos que pueden definir al Conjunto, de forma única y exclusiva son sus elementos.
  • Por otra parte, la magnitud del conjunto, es decir, si el conjunto es finito o infinito, estará igualmente definida por la magnitud de los elementos que conforman el conjunto.
  • Finalmente, se puede decir que el Conjunto se caracteriza también por no cambiar en la medida en que crece, puesto que todo elemento que desee incorporarse a la colección deberá responder al criterio de agrupación bajo la cual se ha formado, por lo que ningún nuevo elemento puede atentar contra esta colección.

Propiedades de la Inclusión entre conjuntos

Teniendo presente entonces la definición y características del Conjunto, será mucho más sencillo entender entonces la terminología inherente a cada una de las propiedades que las Matemáticas asocian con la relación de Inclusión entre conjuntos, las cuales pueden describirse tal como se muestra a continuación:

Propiedad reflexiva

En primera instancia, la disciplina matemática indica que la relación de Inclusión entre conjuntos puede ser entendida como una relación de tipo reflexiva, ya que, según esta propiedad, todo artículo se encuentra incluido en sí mismo. Esto se puede explicar puesto que si se tiene un conjunto, en el momento de compararlo consigo mismo, se encontrarán exactamente todos y cada uno de sus elementos, por lo que se puede decir entonces que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo:

A ⊂ A

Un ejemplo de este tipo de Propiedad podría ser el siguiente:

Dado un conjunto A, constituido por nombres de frutas:  A= {Durazno, Patilla, Papaya, Granada, Fresa} comprobar la Propiedad reflexiva.

Para esto habrá que colocar al conjunto frente a sí mismo, a fin de poder comparar sus elementos:

A= {Durazno, Patilla, Papaya, Granada, Fresa}

{Durazno, Patilla, Papaya, Granada, Fresa} = {Durazno, Patilla, Papaya, Granada, Fresa}

Al hacerlo se puede ver cómo todos y cada uno de los elementos coinciden, por lo que entonces se puede decir que A es subconjunto de sí mismo:

A ⊂ A

Propiedad de asimetría

Igualmente, las Matemáticas señalan que la relación de Inclusión entre conjuntos responde a la propiedad de la Asimetría, puesto que no se puede decir que si un conjunto A es subconjunto de B, B también puede ser subconjunto de A, ya que para que esto pudiese ser cierto A debería ser igual al conjunto B. En tal sentido, esta propiedad matemática es expresada de la siguiente forma:

A ⊂ B  ˄   B  ⊂ A →  A = B

Un ejemplo de esta propiedad puede darse en base a un conjunto A en donde puedan contarse como elementos animales caninos: A= {Lobo, Zorro, Perro, Coyote, Chacal, Dingo} y un conjunto B, conformado por animales cuadrúpedos:  B= { Lobo, Zorro, Perro, Coyote, Chacal, Dingo} comprobar si entre ellos existe una relación de Inclusión, y si se cumple en efecto la Propiedad de Asimetría:

Para cumplir con esta solicitud, se deberá revisar cada uno de los elementos que conforman cada uno de los conjuntos:

A= {Lobo, Zorro, Perro, Coyote, Chacal, Dingo}
B= {Lobo, Zorro, Perro, Coyote, Chacal, Dingo}

Al hacerlo, se puede ver que todos y cada uno de los elementos que se encuentran en el conjunto A, están también en el conjunto B, por lo que se puede afirmar en primera instancia que A es un subconjunto de B:

A ⊂ B

No obstante, si se hace el análisis al contrario, se puede determinar también que todos los elementos que conforman el conjunto B, se encuentran de forma plena en el conjunto A, por lo que también se puede afirmar que B es un subconjunto de A:

B  ⊂ A

En tal razón, y siguiendo la norma matemática, así como la revisión de los conjuntos, esto es posible debido a que entre los conjuntos A y B, además de existir una relación de Inclusión, también existe una relación de igualdad: A=B. En este sentido, queda también comprobada la Propiedad de Asimetría en la Inclusión entre conjuntos.

Propiedad Transitiva

Finalmente, la Propiedad Transitiva establece que si un conjunto A se encuentra incluido en un conjunto B, y a su vez este conjunto B puede considerarse como un subconjunto de un conjunto C, por Propiedad Transitiva se puede concluir entonces que el conjunto A se encuentra también incluido en el conjunto C. Esta propiedad cuenta con la siguiente expresión matemática:

A ⊂ B ˄ B ⊂ C →  A ⊂ C

Un ejemplo de este tipo de propiedad en la relación de Inclusión entre Conjuntos puede ser el siguiente: Dado un conjunto A, en donde puedan incluirse nombres de mujeres que comiencen por la letra “l”: A= {Laura, Lorena, Liliana, Luna, Lucía}; un conjunto B, constituido por nombres de mujeres que terminen en la letra “a”:  B= {Paola, Laura, Diana, Lorena, Liliana, Teresa, Martha, Luna, Fabiola, Lucía} y un tercer conjunto, conformado por nombres femeninos en general:  C= {Elizabeth, Gloria, Paola, Laura, Berta, Maribel, Diana, Bárbara, Lorena, Ruth, Liliana, Teresa, Martha, Luna, Luisana, Luisa, Fabiola, Lucía} determinar si se cumple la Propiedad Transitiva:

Para hacerlo, se deberá comenzar por comparar los tres conjuntos, a fin de poder revisar sus elementos, e ir estableciendo si entre ellos existen realmente  relaciones de inclusión:

A= {Laura, Lorena, Liliana, Luna, Lucía}
B= {Paola, Laura, Diana, Lorena, Liliana, Teresa, Martha, Luna, Fabiola, Lucía}
C= {Elizabeth, Gloria, Paola, Laura, Berta, Maribel, Diana, Bárbara, Lorena, Ruth, Liliana, Teresa, Martha, Luna, Luisana, Luisa, Fabiola, Lucía}

En primera instancia, se puede ver cómo todos los elementos que conforman el conjunto A se encuentran de forma total en el conjunto B, por lo que se puede concluir entonces que efectivamente A es un subconjunto de B:

A ⊂ B

Siguiendo con el análisis de estos conjuntos, se puede ver también cómo todos los elementos del conjunto B se encuentran incluidos a su vez en el conjunto C, por lo que se puede decir también que B está incluido en C:

B ⊂ C

En consecuencia, ante estas relaciones de Inclusión, por Propiedad Transitiva, se puede decir entonces que A también está incluido en C, lo que se puede comprobar revisando y corroborando que en efecto la totalidad de elementos que constituyen el conjunto A se encuentran en el conjunto C, por lo que entonces:

A ⊂ C

De esta forma, se comprueba la Propiedad Transitiva en la Inclusión de conjuntos, teniéndose que efectivamente:

A ⊂ B ˄ B ⊂ C →  A ⊂ C

Imagen: pixabay.com

Propiedades de la Relación de Inclusión (Conjuntos)