Propiedades de los conjuntos finitos

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que sea necesario comenzar por la propia definición de Conjunto, pues esto ayudará a tener clara la naturaleza en base a la cual se establece la categoría de Conjunto finito. Así mismo, se parará revista sobre los conceptos de Cardinalidad y de Conjunto finito, a fin de tener presente en qué consiste este tipo de conjunto, y cual es una de sus principales características. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjunto

De esta manera, se dirá entonces que las Matemáticas definen al Conjunto como una colección abstracta de elementos, entre los cuales se puede encontrar al menor un elemento en común, de ahí que sea entendido como una agrupación o colección. Igualmente, este objeto matemático conocido por el nombre de Conjunto cuenta con una característica principal: la de estar constituido y definido, de forma única y exclusiva por sus elementos. En cuanto a su notación, esta corresponderá a tres parámetros básicos: en primer lugar, el conjunto será nombrado siempre en base al nombre de una letra mayúscula; así también, sus elementos serán presentados como una enumeración, es decir, de forma consecutiva, siendo separados por comas; finalmente, los elementos del conjunto estarán contenidos entre signos de llaves.

Cardinalidad

Por otro lado, resulta pertinente enfocar la atención sobre la definición de Cardinalidad, concepto que es concebido por el Álgebra de Conjuntos como la correspondencia con el número total de elementos que tiene un conjunto. En consecuencia, la Cardinalidad no es otra cosa que el número de elementos que pueden encontrarse en cualquier conjunto. Con respecto a la forma de expresar esta equivalencia, el Álgebra de Conjuntos opta por el signo #, aunque también se puede escoger el encerrar el nombre del conjunto entre dos barras: │A│. Sin embargo, puede que la forma más eficiente de explicar la Cardinalidad sea a través de un ejemplo: en este sentido, si se tiene un conjunto A, constituido por nombres femeninos que comiencen por la letra “p”: A= {Paola, Patricia, Penélope, Pamela} a la hora de determinar su Cardinalidad tan solo será necesario contar los elementos que contiene el conjunto:

A= {Paola, Patricia, Penélope, Pamela}

│A│ = 4

Conjunto Finito

Por último, será también conveniente revisar la definición de Conjunto finito, el cual ha sido concebido como todo conjunto que cuente con una cantidad numerable de elementos, es decir, que su Cardinalidad pueda ser conocida, y además corresponda a un número natural. En este sentido, un Conjunto finito será simplemente toda colección abstracta que tenga un número finito de elementos. Su contrario sería un Conjunto infinito, constituido por agrupaciones cuya cardinalidad no puede ser calculada. En consecuencia, siempre que se quiera saber si se está o no en presencia de un conjunto finito, será necesario recurrir a su Cardinalidad, pues en ella residirá la respuesta.

Propiedades de los conjuntos finitos

Igualmente, como todo objeto matemático al fin, los Conjuntos finitos también responden a una serie de propiedades matemáticas, las cuales dan cuenta de las distintas leyes que se cumplen en relación a la naturaleza de este tipo de conjuntos, y que pueden ser resumidas de la siguiente manera:

• Respecto a la Unión: En este sentido, las Matemáticas afirman que todo conjunto finito que establezca una operación de Unión con otro conjunto que pueda ser clasificado como finito dará como resultado un tercer conjunto, que entre otras características, contará con la propiedad de ser igualmente un conjunto finito, es decir, con un total numerable de elementos.
• Respecto a la Intersección: por otro lado, en el caso de que la operación establecida entre ambos conjuntos sea el de la Intersección, las Matemáticas indica que si los conjuntos involucrados son finitos, entonces la colección generada de esta operación contará también con la característica de poseer un número finito de elementos.
• Respecto al subconjunto: de igual manera, en caso de que se establezca el subconjunto de un conjunto finito, se tendrá como resultado una colección de elementos finitos. Es decir, que todo subconjunto de un conjunto finito es a su vez numerable o finito.
• Respecto al Conjunto potencia: así también, ha señalado las Matemáticas, toda vez que se establezca el conjunto potencia de un conjunto finito, es decir, un conjunto conformado por cada uno de los subconjuntos que pueden detectarse en un determinado conjunto, se obtendrá igualmente una colección finita.
• Respecto al Conjunto vacío: finalmente, las Matemáticas asumirán que el Conjunto vacío puede ser considerado igualmente como un conjunto finito, situación que se explica en la lógica de pensar que si el Conjunto vacío no tiene ningún elemento, entonces su cardinalidad es conocida y numerable, por ende puede ser considerado entonces, además de uno de los Conjuntos especiales, un Conjunto finito.

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