Propiedades de los conjuntos infinitos

Matemáticas

Quizás lo mejor, antes de abordar cada una de las propiedades que las Matemáticas pueden distinguir en referencia a los conjuntos infinitos, sea revisar algunas definiciones, que permitan entender cada una de estas leyes dentro de su contexto adecuado.

Definiciones fundamentales

Por consiguiente, puede que lo mejor sea comenzar por el propio concepto de Conjunto, a fin de tener clara la naturaleza de la colección en base a la cual se genera el concepto de Conjunto infinito. Así mismo, será pertinente revisar las definiciones de Cardinalidad, al igual que la de este tipo de conjunto, en base al cual se generan las diferentes propiedades que se estudiarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Conjunto

En cuanto al Conjunto, éste ha sido definido por las Matemáticas como un objeto matemático, el cual se caracteriza principalmente por estar conformado y definido, de forma única y exclusiva, por los elementos que contiene, los cuales a su vez se distinguirán por poseer entre sí un rasgo en común, de ahí que se les considere como una agrupación o una colección abstracta. En referencia a su notación, las Matemáticas han señalado igualmente que los conjuntos recibirán el nombre de una letra mayúscula, mientras que sus elementos irán presentados como una numeración, separados por comas y comprendidos entre signos de llaves {}.

Cardinalidad

Con respecto a la Cardinalidad, el Álgebra de Conjuntos ha señalado que esta puede ser comprendida como una correspondencia que da cuenta de la cantidad de elementos que contiene un conjunto determinado. Por ende, al hablar de la Cardinalidad de un Conjunto se estaría haciendo referencia al total de elementos que se encuentran dentro de éste. Por otro lado, esta disciplina matemática señala también que la Cardinalidad podrá ser representada por el signo # así también como con el nombre del conjunto comprendido entre signos de barras: │A│. Así mismo, la Cardinalidad constituye uno de los principales medios para determinar si un conjunto es finito o infinito, puesto que si ésta es equivalente a un número natural y conocido, la colección es definida como finita. Por el contrario, si el Conjunto es infinito, la Cardinalidad no podrá responder a un número natural, es decir, el conjunto no será numerable.

Conjuntos infinitos

Como consecuencia, los Conjuntos infinitos podrán ser entendidos en primera instancia como conjuntos que no son finitos, ergo, serán colecciones cuya Cardinalidad no corresponde a un número natural y conocido, puesto que es incuantificable. Por otro lado, un Conjunto infinito será también aquel conjunto, cuyo subconjunto propio –entendido esto como una colección que se encuentra dentro de este conjunto- además de también ser infinita, puede establecer una relación biunívoca con el conjunto infinito.

Propiedades de Conjuntos infinitos

Por otro lado, como todo objeto matemático, también se puede hacer referencia a las distintas propiedades que los Conjuntos infinitos presentan, respecto a las diferentes operaciones o relaciones matemáticas, tal como se muestra seguidamente:

  • Propiedades respecto a la Unión: una de las primeras propiedades matemáticas que puede identificarse en los Conjuntos infinitos se da en relación a la operación de la Unión. En este sentido, el Álgebra de Conjuntos indica que toda vez que dos conjuntos infinitos establezcan entre ellos una relación de Unión, el resultado será una tercera colección, la cual también contará con la característica de ser infinita. Así también, según esta propiedad, bastará con que una sola de las colecciones involucradas en esta operación sea infinita, para que la colección generada también lo sea.
  • Propiedades respecto al subconjunto: en referencia a la propiedad matemática que se da en torno a los subconjuntos que puede tener un Conjunto infinito, el Álgebra de Conjuntos indica que por ley todo subconjunto que sea detectado en una colección de este tipo, será considerado a su vez como un Conjunto infinito.
  • Propiedades sobre el Conjunto potencia: igualmente, todo Conjunto Infinito sobre el cual se busque calcular su Conjunto potencia, es decir, una colección que recoja el total de subconjuntos que pueden establecerse en torno al conjunto dado, arrojará como resultado un Conjunto potencia infinito, puesto que el número de subconjuntos de una colección infinita también tendrá la característica de no contar con una cardinalidad correspondiente a un número natural, conocido y cuantificable.

Imagen: pixabay.com

Propiedades de los conjuntos infinitos

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Bibliografía

El pensante (agosto 11, 2017). Propiedades de los conjuntos infinitos. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/propiedades-de-los-conjuntos-infinitos/