Propiedades del Conjunto complementario

Definiciones fundamentales

En este sentido, se puede comenzar por explicar la definición de Conjunto, pues esto permitirá tener presente la naturaleza del objeto, en base al cual se establece esta operación. Igualmente, puede ser de gran importancia centrar la atención en las definiciones de Conjunto Universal, así como la del propio Conjunto complementario. A continuación, cada uno de los conceptos:

Conjunto

En cuanto al Conjunto, las Matemáticas lo han descrito como una colección abstracta de elementos, que pueden ser identificados por poseer un rasgo en común entre ellos, de ahí que también sean concebidos como un grupo, colección o conjunto. Así mismo, esta disciplina ha señalado que estos elementos, además de conformar al conjunto, cumplen también la misión de definir esta colección, de forma única y exclusiva. Con respecto a su notación, esta ha quedado establecida en tres puntos clave: el conjunto será denominado por el nombre de una letra mayúscula; los elementos se presentarán como una lista, separados por coma; la totalidad de elementos deberá estar contenida entre signos de llaves { }.

Conjunto Universal

Por otro lado, la definición de Conjunto Universal cobra también relevancia en cuanto a la noción de Conjunto Complementario. En este orden de ideas, el Álgebra de conjuntos ha explicado al Conjunto Universal –conocido también como Conjunto referencial- como una colección, en donde se pueden encontrar de forma plena y completa la totalidad de elementos de un universo. Los límites de este universo son fijados a conveniencia, según la realidad a la que se quiera hacer referencia. La forma de denotar esta conjunto, según lo establecido por esta teoría es la letra U, aunque algunas corrientes también usan en ocasiones la letra V.

Conjunto Complementario

Finalmente, será necesario traer a colación la definición de Conjunto complementario –llamado a veces también Complemento de un conjunto- el cual es definido como una colección en donde se encuentran todos los elementos que no aparecen en un conjunto determinado, según el Conjunto Universal que sirve de referencia a ambas colecciones. Para explicar este conjunto, en otras palabras, se dirá entonces que el Conjunto complementario será la Diferencia que existe entre el Conjunto Universal y el Conjunto: (A^∁= U\A).

Propiedades del Conjunto complementario

Con estas definiciones presentes, quizás entonces, sea mucho más sencillo entender las distintas Propiedades matemáticas que el Álgebra de conjuntos ha señalado que pueden distinguirse en el Conjunto complementario, y que a su vez pueden explicarse de la siguiente manera:

Sobre el Conjunto Universal y el Conjunto vacío

Una de las primeras leyes matemáticas que puede entenderse respecto al Conjunto complementario son aquellas que se dan en base al Conjunto Universal (conjunto U, en donde residen todos los elementos de un universo referencial) y el Conjunto vacío (conjunto ∅, caracterizado principalmente por no contar con ningún elemento en él). En cuanto a estas colecciones, se pueden contemplar entonces dos leyes:

-La primera de ellas, aquella que dicta que el Complemento del Conjunto Universal es el Conjunto vacío: U^∁= ∅, situación que se explica básicamente porque al contar U con todos los elementos, sólo puede complementarla un conjunto que no tenga ninguno de ellos, tal como lo hace ∅.

-En segundo lugar, el Álgebra de Conjuntos también señala que se puede hablar de una Ley contraria, en donde el complemento del Conjunto Vacío es precisamente el Conjunto Universal:   ∅^∁ = U, lo cual también podría explicarse lógicamente en el hecho de que un Conjunto que no tenga ningún elemento dentro de él, tendrá como complemento aquella colección en donde se encuentren por el contrario todos los elementos.

Propiedad Involutiva

Por otro lado, en el Conjunto complementario también se puede distinguir la Propiedad involutiva, la cual dicta que el Conjunto complementario de un Conjunto complementario sólo puede ser el conjunto dado. De esta forma, si se toma en cuenta que el complementario de un conjunto son todos aquellos elementos que no están en el conjunto, pues al tratar de definir el complementario de este complementario, se obtendrá el primer conjunto, pues en él estarán aquellos elementos que no estén en esta segunda relación de complementareidad que se quiera buscar. Algunas fuentes han señalado que esta propiedad además de poder ser tomada como una propiedad inversa, o involutiva, se asemeja un poco a cómo funciona el mecanismo de la negación en la Lógica. La expresión matemática de esta propiedad será la siguiente:

(A^∁)^∁ = A

Propiedad sobre la Unión con A^∁

En tercer lugar, también se puede llamar la atención sobre la propiedad matemática que dicta que en toda operación en donde un conjunto determinado establezca una operación de Unión con su complementario, el resultado será en todo momento el Conjunto Universal. Esta Ley matemática es fácilmente explicable si se toma en cuenta que el Complementario será una colección conformada por los elementos faltantes en un conjunto, teniendo como referencia al Conjunto Universal, por lo que, al realizar una operación de Unión, procedimiento por el cual dos conjunto constituyen un tercero, en donde pueden encontrarse la suma de todos los elementos que aparecen en cada una de las colecciones que han participado de la operación, no puede haber otro resultado que el Conjunto universal:

A^∁ ∪ A= U

Propiedad sobre la disjuntividad

Así mismo, el Álgebra de Conjuntos es enfática al señalar que un Conjunto y su Complementario son siempre disjuntos, es decir, que entre ellos no existen elementos en común, lo cual resulta obvio al recordar la definición del Conjunto complementario cuando señala que el Complementario tendrá aquellos elementos que no aparecen en el Conjunto, teniendo como paradigma el Conjunto Universal. Sin embargo, de esta situcación de disjuntividad se puede inferir otra Ley, la cual señala que siempre que se establezca una operación de Intersección entre un Conjunto y su complementario, el resultado no podrá ser otro que el Conjunto vacío, pues entre ellos no existirá ningun elemento en común:

A ∩ A^∁ = ∅

Propiedades sobre complementarios y subconjuntos

Otra de las Leyes matemáticas de los Conjuntos complementarios se da en torno a los subconjuntos del conjunto sobre el cual se establece el complementario, pues se puede decir entonces que el complementario de A está contenido en el conjunto complementario que se establezca en base a cualquiera de sus subconjuntos. Esta Ley matemática puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

B ⊆ A → A^∁ ⊆ B^∁

Propiedades o Leyes de Morgan

Finalmente, existen también otras leyes que, en el caso del Conjunto complementario, se dan en relación a las operaciones de Unión e Intersección, y que reciben generalmente el nombre de Leyes de Morgan. Estas pueden ser resumidad tal como se muestra a continuación:

-En primer lugar, se tiene que toda vez que se haya establecido cuál es el conjunto complementario de la Unión de un conjunto A y un conjunto B, éste siempre coincidirá con la intersección de los respectivos complementarios de cada una de estas colecciones. Esta ley, podría ser expresada de la siguiente manera:

(A ∪ B)^∁ = A^∁ ∩ B^∁

-En segundo lugar, el Álgebra de Conjuntos también refiere a una propiedad matemática que dicta que el complementario del conjunto resultante entre la Intersección de dos conjuntos será siempre igual o equivalente a la Unión de los complementos de cada uno de estos conjuntos:

(A ∩ B)^∁ = A^∁ ∪ B^∁

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