Propiedades del Conjunto potencia

Matemáticas

Es probable que, antes de abordar cada una de las propiedades matemáticas, que pueden distinguirse en el Conjunto potencia, sea pertinente abordar la propia definición de este conjunto, a fin de entender la naturaleza del objeto sobre el cual se dan dichas leyes.

Conjunto Potencia

En este sentido, se puede comenzar por decir entonces que el Conjunto Potencia es definido por las Matemáticas como la colección abstracta conformada por la totalidad de subconjuntos que pueden hallarse en el Conjunto sobre el cual se establece. No obstante, puede que esta definición necesite de la exposición de un ejemplo concreto, a fin de entenderse por completo, tal como el que se establece a continuación:

Dado un conjunto A= {a,b,c} determinar el Conjunto Potencia

Para cumplir con lo pedido en este postulado, será necesario entonces conformar un conjunto, cuyos elementos serán cada uno de los subconjuntos de A, incluido por su puesto el Conjunto vacío:

A= {a,b,c}

P(A)= {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}

Si se quisiera saber si ciertamente el total de los elementos del Conjunto Potencia coincide ciertamente con la totalidad de subconjuntos que debe tener el Conjunto dado, será necesario entonces calcular el cardinal del Conjunto Potencia, para los cual se resolverá una operación de potenciación, de base dos, elevada al cardinal del conjunto dado:

A= {a,b,c}

│P(A)│ =  2│A│

│P(A)│= 23

│P(A)│= 8

Al hacerlo, se puede ver cómo el resultado de la operación coincide plenamente con la cantidad de números que se anotaron en el Conjunto Potencia, por lo que entonces se puede considerar éste como completo y correcto.

Propiedades del Conjunto Potencia

Con esta definición, y su respectivo ejemplo, presentes tal vez sea mucho más sencillo aproximarse a cada una de las Propiedades que las Matemáticas han señalado respecto al Conjunto Potencia, y que pueden ser resumidas de la siguiente manera:

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Sobre el número de subconjuntos

En primer lugar, el Álgebra de Conjuntos ha señalado que siendo el Conjunto Potencia, una colección abstracta conformada por los subconjuntos de un Conjunto dado, se asume que siempre y en todo caso, todo Conjunto potencia contendrá al menos un elemento, es decir, al menos un subconjunto de la colección en base a la cual se ha establecido.

Sobre el Conjunto vacío

Por otra parte, las distintas fuentes sobre Álgebra de Conjuntos coinciden en indicar que, debido a que el Conjunto vacío cuenta con la propiedad de ser considerado, siempre y en todo momento, como un subconjunto de cualquier conjunto, entonces en el caso del Conjunto Potencia, esta colección siempre será anotada como uno de los subconjuntos de cualquier conjunto dado. En otras palabras, de acuerdo a lo que establece esta propiedad matemática, el Conjunto vacío (∅) siempre estará presente en el Conjunto Potencia, independientemente al conjunto dado. Una forma de expresar matemáticamente esta propiedad, puede ser la siguiente:

∅ ∈ P(A) cualquiera que sea A

Sobre el conjunto dado como subconjunto de sí mismo

Así también, existe una Ley matemática que indica que, siempre y bajo cualquier circunstancia, es un subconjunto de sí mismo. En este sentido, se deriva otra propiedad matemática, en referencia al Conjunto Potencia, la cual indica que en todo Conjunto potencia aparecerá una vez el conjunto dado como subconjunto, es decir, que todo conjunto, siendo el conjunto dado y sin importar cuál es, siempre aparecerá como elemento de su propio Conjunto Potencia. Esta propiedad puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera:

A ∈ P(A) para cualquier A

Sobre el cardinal del Conjunto potencia

Finalmente, otra de las propiedades matemáticas que el Álgebra de conjuntos ha señalado como inherente al Conjunto Potencia está relacionada con el cardinal de esta colección, es decir con el número total de elementos que contiene. En este orden de ideas, esta disciplina matemática señala que, siempre y en todo momento, el Cardinal del Conjunto Potencia será equivalente al resultado de una operación de potenciación, en donde la base equivalente a dos es elevada al cardinal del conjunto dado:

│P(A)│ =  2│A│

Imagen: pixabay.com

Propiedades del Conjunto potencia


Bibliografía

El pensante (julio 28, 2017). Propiedades del Conjunto potencia. Bogotá: E-Cultura Group. Recuperado de https://educacion.elpensante.com/propiedades-del-conjunto-potencia/