Propiedades del Conjunto vacío

Tal vez lo mejor, previo a indicar cada una de las propiedades que pueden ser atribuidas al Conjunto vacío, sea detenerse de forma breve en la definición de este tipo de Conjunto, a fin de poder entender la naturaleza del objeto, en base al cual tienen lugar las distintas propiedades.

Definición de Conjunto vacío

En este sentido, es importante recordar entonces que las Matemáticas parten definiendo al Conjunto como una colección abstracta de elementos entre los cuales puede identificarse un rasgo en común, por lo que en consecuencia son entendidos como una agrupación o colección. En relación con esta definición, se llama la atención también en la de Conjunto vacío, el cual es entendido por las Matemáticas como un Conjunto en donde no puede contarse ningún elemento, es decir, que está vacío. Con respecto a la notación de este tipo de Conjunto, viene determinada por el signo ∅ aun cuando también algunas corrientes optan por usar un par de llaves sin ningún contenido { }, siendo sin embargo la más usada la primera.

Propiedades del Conjunto vacío

Además de la definición del Conjunto vacío, la Teoría de Conjuntos se ha dado a la tarea de identificar y definir las distintas propiedades matemáticas, inherentes a este objeto, y entre las cuales se encuentran las siguientes:

Sobre el carácter único del Conjunto vacío

Una de las primeras propiedades matemática que señalan las Matemáticas sobre este tipo de Conjunto es su cualidad de ser único. Esta propiedad viene explicada en el hecho de que si se tienen dos conjuntos sin ningún tipo de elementos dentro de él, además de considerarse vacíos, se pueden entender como conjuntos iguales, de ahí que se concluya que solo existe el Conjunto vacío. La expresión matemática de esta propiedad sería la siguiente: ∅ = ∅. Por ende, jamás se tratará de un Conjunto vacío, sino que entenderá como el Conjunto vacío.

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Sobre el subconjunto de ∅

Así mismo, el Álgebra de Conjuntos llama la atención sobre la propiedad matemática que puede identificarse en relación al subconjunto del Conjunto vacío, el cual siempre será el mismo Conjunto vacío. Esta propiedad puede explicarse fácilmente cuando se piensa que el subconjunto del ∅ tiene que ser necesariamente un conjunto sin elementos, es decir, el Conjunto vacío, y como además este conjunto es único, pues la respuesta siempre será él mismo:

Entonces A ⊆ ∅ si y solo si A= ∅

Sobre el Cardinal del Conjunto vacío

Por otro lado, el Álgebra de Conjuntos también señala que siempre que se trate del Conjunto vacío, su cardinal, es decir, la suma de sus elementos, será como es de suponer, ya que ∅ está vacío, igual a cero. Esta propiedad  podrá expresarse matemáticamente de la siguiente forma:

│∅│= 0

Sobre la equivalencia a cero

De igual forma, dentro del Álgebra elemental, el Conjunto vacío cumple con un papel similar al que tiene el cero en las operaciones matemáticas, por ende se puede decir entonces que se considera equivalente a cero dentro de las distintas operaciones con Conjuntos, de ahí que se generen al respecto varias propiedades o leyes matemáticas, entre las cuales se encuentran las siguientes:

  • Siempre y en todo caso, el Conjunto vacío será un subconjunto de A: ∅⊆ A
  • De igual forma, si el conjunto A establece una operación con el Conjunto vacío, el resultado será en todo momento el propio conjunto: A ∪ ∅ = A.
  • En cambio, si la operación fuese de Intersección, siempre que el conjunto A estableciera una operación de Intersección con el Conjunto vacío, el resultado será el propio Conjunto vacío: A ∩ ∅= ∅.
  • Finalmente, si el conjunto A estableciera una operación de Producto cartesiano con el Conjunto vacío, el único resultado posible será un conjunto en donde no puedan encontrarse pares ordenados, por lo que entonces se interpreta que el resultado es equivalente al Conjunto vacío: A x ∅ = ∅

Imagen: pixabay.com

Propiedades del Conjunto vacío
julio 20, 2017