Propiedades sobre los subconjuntos en la Intersección de conjuntos

Definiciones fundamentales

En este sentido, quizás lo mejor sea empezar por la propia definición de Conjunto, a fin de tener presente la naturaleza de la colección en base a la cual se realiza la operación de Intersección, así mismo puede resultar conveniente verter la atención sobre esta operación, a fin de entender un poco mejor el contexto matemático al que responden las propiedades que se estudiarán posteriormente. A continuación, los siguientes conceptos:

Conjunto

Por consiguiente, se puede comenzar entonces por decir que las Matemáticas han señalado que el Conjunto puede ser concebido como una colección abstracta de elementos, de los cuales se puede decir que comparten la misma naturaleza, puesto que cuentan con un rasgo común a todos. Así también, esta disciplina ha señalado que el Conjunto responde a ciertas características entre las cuales se encuentran la de estar definida única y exclusivamente por los elementos que lo conforman. En cuanto a su notación, esta se da en cumplimiento de tres parámetros: en primer lugar, que el nombre del conjunto corresponda siempre al nombre de una letra mayúscula; en segunda instancia que los elementos sean presentados entre signos de llaves {}, y que a su vez sean dispuesto en forma de lista, siendo separados por comas.

Operación de Intersección

Por otro lado, el Álgebra de Conjuntos señala que la Intersección entre conjuntos puede ser entendida como una operación básica en donde dos conjuntos establecen una intersección, a fin de dar lugar a un tercer conjunto, en el cual pueden encontrarse como elementos, aquellos que han resultado ser comunes a ambas colecciones. Por ende, en el momento en que un conjunto A establece una operación de Intersección con un conjunto B, se creará un tercer conjunto A ∩ B que estará conformado por los elementos que originalmente se podían encontrar tanto en A como en B. La expresión matemática de esta operación puede ser tenida como la siguiente:

A ∩ B =

Propiedades de los subconjuntos en la Intersección

Teniendo presente estas definiciones, será mucho más fácil comprender la terminología y las operaciones que pueden encontrarse en las tres propiedades que distingue el Álgebra de Conjuntos respecto a la Intersección de conjuntos, y que pueden ser explicadas respectivamente como se muestra a continuación:

Propiedad sobre los subconjuntos de A y B

A pesar de que estas propiedades no cuentan con nombres específicos, la primera de ellas podría ser referida como la propiedad sobre los subconjuntos de A y B en la Intersección de conjuntos. De acuerdo a ella, se tendrá entonces que por Ley matemática, en toda operación de Intersección se puede considerar que el conjunto creado en la operación resulte también tanto un subconjunto de A como un subconjunto de B, lo cual se explica porque puesto que el resultado contiene elementos que pueden encontrarse tanto en un conjunto como en otro, se asume que se encuentran contenidos originalmente en cada uno de los conjuntos que han participado de la operación. Esta propiedad podría ser explicada matemáticamente de la siguiente manera:

A ∩ B ⊆ A,B

Propiedad sobre la Intersección de un subconjunto de A

Otro de los casos de Intersección en donde pueden observarse una propiedad referente a los subconjuntos, ocurre cuando un conjunto A establece una operación de intersección con un conjunto B, que  a la vez resulta ser subconjunto de este primer objeto, puesto que todos y cada uno de los elementos del conjunto B se encuentran contenidos en el conjunto A. En esta circunstancia, el conjunto obtenido en la operación de Intersección será totalmente igual al conjunto B, por lo que esta propiedad afirma entonces que el conjunto B, es decir el que puede ser identificado como subconjunto del otro, no sufre alteración alguna. Por su parte, esta propiedad podrá ser planteada matemáticamente de esta forma:

A ⊆ B → A ∩ B= B

Subconjuntos del Conjunto Universal

Finalmente, el Álgebra de conjuntos hace referencia a una Ley matemática que indica que el Conjunto vacío puede ser interpretado como un subconjunto de la intersección de los conjuntos A, B y C, quienes a su vez son entendidos también como subconjuntos de la intersección entre el conjunto A y el conjunto B, que a su vez es subconjunto del conjunto A, que puede ser interpretado como el subconjunto de la unión de A y el conjunto B, el cual se genera a su vez de la unión de los conjuntos A, B y C, que finalmente pueden ser entendidos como un subconjunto del Conjunto universal (Ω). Esta propiedad ha sido expresada matemáticamente de la siguiente forma:

∅ ⊂ A ∩ B ∩ C ⊂  A ∩ B ⊂ A ⊂  A ∪ B ⊂ A ∪ B ∪ C ⊂ Ω

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