Regla de compañía (Matemáticas / Proporcionalidad directa)

Quizás lo más conveniente, previo a abordar una explicación sobre la Regla de compañía, así como cada uno de los tres distintos casos que pueden encontrarse en torno a este procedimiento, puede que lo más conveniente sea realizar la revisión de algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este tipo de procedimiento dentro de su justo contexto matemático.

Definiciones fundamentales

En este sentido, puede que sea necesario delimitar esta definición a cinco nociones fundamentales: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales y Repartos directamente proporcionales, por encontrarse estrechamente relacionados con la Regla de compañía que se estudiará más adelante. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones han sido vistas por las Matemáticas como un tipo de expresión, que da cuenta del cociente entre dos números, o de lo que es igual de cuántas veces se encuentra contenido un Divisor entre un Dividendo. Algunos ejemplos de Razones pueden ser las siguientes:

Pese al parecido que tienen las Razones con las Fracciones, algunos autores han alzado la voz para advertir lo importante de no confundir estas expresiones, que en realidad se encuentran conformadas por elementos distintos, y dan cuenta de situaciones matemáticas diferentes. Por ende, la Fracción –construida por el Numerador y el Denominador- darán cuenta siempre de la cantidad de partes que se han tomado de una unidad dividida en partes iguales, mientras que la Razón –constituida por el Antecedente y el Consecuente- sería la expresión del cociente entre dos números.

Proporciones

En segunda instancia, será igualmente necesario detenerse un momento en el concepto de Proporciones, las cuales han sido explicadas de forma general por las Matemáticas como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Por ejemplo, si se tuvieran las siguientes razones:

Se tendría que, pese a que estas razones están conformadas por elementos que cuentan con distintos valores, en realidad pueden considerarse proporcionales, o iguales, en tanto que si ellas se resolvieran, entonces arrojarían el mismo cociente. Es decir, ambas razones darían como resultado un cociente igual a 2.

Sin embargo, esta no es la única forma en que se puede determinar si dos razones son iguales o proporcionales, puesto que también se puede aplicar el método que plantea la multiplicación de los extremos –conformados por el antecedente de la primera expresión y el consecuente de la segunda- y de los medios –entendidos como el consecuente de la primera razón y el consecuente de la segunda expresión. Si las razones son proporcionales, esta operación debe arrojar el mismo producto:

Esta cualidad es entendida por las Matemáticas como una de las principales propiedades de la proporción, y puede resultar bastante útil, en casos en donde de repente hubiese un número de las razones proporcionales que se desconociera. En tal sentido, para despejar dicha incógnita, se necesitaría simplemente multiplicar los dos valores que se conocen, bien sea en los extremos o los medios, y luego dividirlo por el único elemento que se conoce en el ámbito de la proporción, que se busca determinar:

Magnitudes directamente proporcionales

En tercer lugar, también resultará productivo tomar un momento para revisar de forma breve la definición de Magnitudes directamente proporcionales. Empero, puede que también se requiera ver primero el propio concepto de Magnitudes, las cuales han sido vistas como el conjunto de elementos, que cuentan con la propiedad de sumarse, compararse u ordenarse.

Con respecto a las Magnitudes directamente proporcionales estas serán vistas entonces como el conjunto de Magnitudes que cuentan con la propiedad de que si una de ellas se multiplica o divide entre un factor específico, las otras también se ven afectadas de igual manera y por el mismo factor. Sin embargo, puede que la mejor manera de explicar las Magnitudes directamente proporcionales sea a través de un ejemplo, tal como el que se muestra seguidamente:

Si se entrara en una tienda de telas, y se encontrara que esta ofrece 1 metro de tela por un costo de 5 euros, ¿cuánto se debería pagar por un total de 5 euros?

Habiendo identificado que se trata de Magnitudes directamente proporcionales, entonces obtener la nueva relación será tan sencillo como multiplicar cada elemento por el factor planteado, en este caso el 5:

1 metro de tela → 5 euros
5 metros de tela → 25 euros

No obstante, las Magnitudes directamente proporcionales también crean proporciones, por lo que su despeje puede darse a través de una operación de regla de tres simple directa.

Repartos directamente proporcionales

Por último, también será necesario revisar la noción de Repartos directamente proporcionales, la cual ha sido explicada como una operación o procedimiento matemático, dirigido a determinar en qué forma debe repartirse una cantidad específica en un número de elementos. Este procedimiento resulta bastante útil en la vida cotidiana, por ejemplo, cuando se quisiera determinar, luego de realizada una labor y recibido un total de paga, cuánto le corresponde a cada trabajador, de acuerdo a la cantidad de trabajo realizado.

Empero, puede que la mejor manera de abordar esta explicación sea a través de un ejemplo preciso:

Si se tuviera que en una carpintería se ha realizado un total de 8 mesas, por un monto de 800 euros, y que en este trabajo han participado tres carpinteros, en donde cada uno de ellos ha fabricado correspondientemente las siguientes cantidades de mesas: Antonio hizo 4; Pedro tan solo 1 y Marcos, 2. ¿Cómo saber cuánto debe pagársele a cada uno de ellos?

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Pese a que existen dos posibles métodos para solucionar este problema, se escogerá el método de la reducción a la unidad, es decir, que lo primero que se hará será determinar cuánto es el valor de cada una de las mesas:

Hecho esto, se tiene entonces que cada una de las mesas han sido elaboradas por un total de 100 euros. Por consiguiente, para saber cuánto le corresponden a cada uno de los trabajadores, se deberá simplemente realizar una multiplicación por el número de mesas realizadas:

Antonio → 100 x 4 = 400 euros
Pedro → 100 x 1 = 100 euros
Marcos → 100 x 2 = 200 euros

Regla de compañía

Una vez se han revisado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo aproximarse al concepto de Regla de compañía, la cual ha sido explicada como el procedimiento matemático, enfocado a determinar cómo debe ser el reparto proporcional de las ganancias o pérdidas, entre los socios de una compañía o negocio establecido.

De acuerdo a lo que señalan la mayoría de leyes comerciales, esta repartición de ganancias o pérdidas debe guiarse por los estatutos legales sobre los que se ha constituido la compañía, sin embargo, por lo general, esta repartición se hace teniendo en el horizonte dos elementos necesarios: el capital aportado por cada uno de los socios o el tiempo de inversión de cada capital. Por ende, se desprenden entonces tres posibles casos de resolución de Regla de compañía. A continuación, una breve explicación de cada uno de ellos:

Primer caso: capitales distintos, mismo tiempo de inversión

El primer caso de la Regla de Compañía puede suceder cuando una compañía o negocio cuentan con socios que han aportado capitales de montos diferentes, pero que ingresaron a la transacción al mismo tiempo. En este caso, siempre se hallará la solución, creando una razón entre el total de las ganancias y el total de capital aportado, y multiplicando ese cociente entre el total del capital aportado por cada socio.

Sin embargo, puede que la mejor forma de entender esta operación sea a través de un ejemplo concreto, tal como el que se muestra a continuación:

Si se tuviese que por ejemplo Juan y Pedro decidieron crear una compañía, en la que cada uno aportó respectivamente un capital distinto, teniendo entones que Juan colocó 2000 euros, y Pedro tan solo 1000, y al cabo de un año de trabajo la compañía arrojó ganancias por un valor de 800 euros, ¿cuánta es la ganancia que le corresponde a cada uno de los socios?

Tomando en cuenta que los capitales aportados por ambos socios cuentan con un divisor común, se debería buscar la forma de reducir o simplificar esta operación:

2000 : 1000 = 2
1000 : 1000 = 1

Hecho esto, y para resolver este ejercicio, se comenzará entonces realizando una razón entre ganancia y total de capital aportado. Esta razón deberá multiplicarse por el capital aportado por cada socio:

Segundo caso: capitales iguales, tiempos de inversión distintos

No obstante, en una compañía también puede suceder que los socios, pese a aportar la misma cantidad de dinero al capital de una empresa, entren en momentos distintos. En este caso, se creará una razón entre la ganancia total que ha arrojado la compañía y el tiempo total que ha tomado en producir esa ganancia. Así mismo, ese cociente, se multiplicará por la cantidad de tiempo en que cada socio ha participado de esta empresa. Por ejemplo:

Juana ingresó a una empresa con un capital inicial de 2000 euros, participando en el negocio 6 meses. Por su parte, Antonio también invirtió 1000 euros, pero sólo estuvo un total de 4 meses. ¿Sin la ganancia obtenida es de 750 euros, cómo repartirla proporcionalmente entre Juana y Antonio?

Se comienza por crear entonces una razón entre la cantidad a repartir (750 euros) y el número de meses (10 meses, pues es la suma de los 6 meses que permaneció Juana, y los otros 4 que participó Antonia) que transcurrieron para lograrlo:

Se procede entonces a determinar cuál es la ganancia de cada socio, multiplicando el cociente de esta razón por el número de meses que cada uno ha participado en la compañía.

Tercer caso: capitales distintos, tiempos de inversión diferentes

Por último, se tendrá que en la Regla de compañía se puede ver también la necesidad de determinar cómo debe repartirse la ganancia entre socios que hayan participado en una empresa, tanto con capitales distintos, como durante períodos diferentes. Para resolver este tipo de ejercicios, se deberán seguir entonces los pasos que se mencionan a continuación:

  1. En estos casos, los primero que deberá hacer es determinar un producto, en cada caso, entre el capital aportado y el tiempo de participación. Por ende, se tendrá una relación Capital x tiempo para cada socio.
  2. Luego, se crea una razón entre el total de la ganancia a repartir y la suma de esa relación Capital x tiempo con la que cuenta cada socio.
  3. Finalmente, se multiplica esta razón por la relación tiempo capital de cada uno de los socios, para así obtener las correspondientes ganancias.

Por ejemplo, si se tuviera que Marcos emprende un negocio, con un capital de 2000 euros, y al cabo de seis meses se le une Antonio, con un capital de 1000 euros, y al final del primer año, la empresa ha generado ganancias por 900 euros, ¿cuánto le corresponde a cada uno de ellos en ganancias?

Se comienza creando la relación capital x tiempo de cada uno de los socios:

Relación de Marcos →  2000 eruos  x 12 meses = 24.000
Relación de Antonio → 1000 euros x 6 meses = 6000

Posteriormente, se crea entonces la razón entre el total a repartir y el total de cada una de las relaciones:

Se calcula la ganancia de cada socio, multiplicando esta razón por la relación capital x tiempo de cada uno:

Imagen: pixabay.com

Regla de compañía (Matemáticas / Proporcionalidad directa)
noviembre 5, 2018