Regla de tres compuesta directa-inversa

Antes de abordar una explicación sobre la Regla de tres compuesta directa-inversa, puede que sea necesario tener en cuenta algunas definiciones, que de seguro permitirán entender este procedimiento matemático, en su justo contexto.

Definiciones fundamentales

De esta manera, tal vez lo mejor sea delimitar esta revisión teórica a seis nociones específicas: Razones, Proporciones, Magnitudes directamente proporcionales, Magnitudes inversamente proporcionales, Magnitudes proporcionales a otras varias y Regla de tres compuesta, por encontrarse directamente relacionada con las definiciones que se abordarán posteriormente. A continuación, cada una de estas definiciones:

Razones

Por consiguiente, se comenzará por decir que las Razones han sido entendidas como aquellas expresiones matemáticas que se usan para dar cuenta del cociente que existe entre dos números, es decir, que las Razones se enfocan en señalar cuántas veces se encuentra contenido el Divisor entre el Dividendo. Algunos ejemplos de este tipo de expresiones serán las siguientes:

Así mismo, las Matemáticas han señalado que las Razones se encuentran compuestas por dos elementos: el primero de ellos, el Antecedente, el cual se encuentra ocupando el ámbito superior de la razón, al tiempo que señala el Dividendo; por otro lado, existirá también el Consecuente, elemento que se encargará de ocupar el ámbito inferior de esta expresión, teniendo la misión de señalar el Divisor.

Por otro lado, las diferentes fuentes advierten también la necesidad de no confundir las Razones con las Fracciones, pues pese a parecerse en cuenta a sus estructuras, en realidad se encuentran conformadas por elementos diferentes, y sirven para expresar situaciones matemáticas diferentes. En este sentido, las Razones –conformadas por el Antecedente y el Consecuente- representarán el cociente entre dos números, mientras que las Fracciones –constituidas por el Numerador y el Denominador- servirán para indicar cuántas partes se han tomado, respecto a una unidad que se encuentra dividida en partes iguales.

Proporciones

En segunda instancia, será también recomendable tomar un momento para lanzar luces sobre el concepto de Proporciones, las cuales serán entendidas entonces como la relación de igualdad que existe entre dos razones. Ergo, dos razones iguales serán dos razones proporcionales. Algunos ejemplos de este tipo de relación serán las siguientes:

En este caso, al observar estas razones, se puede ver cómo ninguno de sus elementos coincide con otro, respecto a su valor. Sin embargo, estas razones pueden ser consideradas como iguales, o proporcionales, en tanto que si se resolvieran, en ambos casos darían como resultado un cociente igual a 2. Precisamente por esto pueden considerarse iguales, o proporcionales, puesto que serán expresiones de un mismo cociente.

No obstante, este no es el único método con el que cuentan las Matemáticas para determinar si dos proporciones son iguales o no, pues para esto se puede usarse también el método de los Extremos y los Medios. Por consiguiente, se multiplicarán entre sí los Extremos –es decir, el Antecedente de la primera y el Consecuente de la segunda- al igual que los Medios –constituidos por su parte por el Antecedente de la primera razón y el Consecuente de la segunda. Si estos dos productos coinciden, entonces se asumirá que las Razones son proporcionales:

Este rasgo que se puede apreciar en las Razones proporcionales, o iguales, es conocido por lo general como una de las dos principales leyes de la proporción, y resulta de gran utilidad toda vez que alguno de los elementos de la proporción resulten incógnitos o desconocidos, pues bastará entonces con aplicar una Regla de tres simple directa, que lleve a multiplicar los elementos del ámbito completo, para luego dividir este producto entre el único elemento que se conoce del ámbito que se desea completar:

Magnitudes directamente proporcionales

Por otro lado, será también recomendable traer a capítulo el concepto de Magnitudes directamente proporcionales. Empero, antes de continuar con esta definición puede ser igualmente prudente acotar que las Matemáticas explican las Magnitudes como aquellos conjuntos de elementos, que cuentan con la propiedad de sumarse, ordenarse o compararse con otras unidades, semejantes o iguales.

En cuanto al concepto de Magnitudes directamente proporcionales, las Matemáticas las han definido básicamente como aquel conjunto o par de Magnitudes, en donde se cumple la propiedad de que si una de ellas se multiplica por o divide entre un factor específico, la otra se verá afectada en el mismo sentido.

Magnitudes inversamente proporcionales

Así también, las Matemáticas han promulgado su definición sobre las Magnitudes inversamente proporcionales, describiéndolas entonces como el par de Magnitudes en donde puede verse la propiedad de que cuando una de ellas se multiplica por o divide entre un factor específico, la otra magnitud con la que establece conjunto se ve afectada de manera inversa y proporcional, es decir, que si la primera se multiplica por un factor, la segunda se divide entre el mismo factor. Por otro lado, si la primera se llegara a dividir entre un factor específico, la segunda se multiplicará por el mismo elemento.

Magnitudes proporcionales a otras varias

Igualmente, entre las distintas relaciones de proporcionalidades que pueden encontrarse en las Magnitudes, están las Magnitudes proporcionales a otras varias, las cuales han sido explicadas como la Magnitud que puede resultar proporcional a más de una magnitud, en tanto las restantes se mantengan fijas. Así mismo, este tipo de Magnitudes constituyen proporciones conformadas por tres magnitudes, cuando lo general es que las proporciones se establezcan entre tan solo dos razones iguales.

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Regla de tres compuesta simple

Por último, será también necesario tomar un momento para revisar el concepto de Regla de tres compuesta simple, la cual ha sido explicada entonces como el procedimiento matemático que se establece para poder despejar o conocer algunos de los elementos de la proporción constituida por tres diferentes magnitudes.

Regla de tres compuesta directa-inversa

Una vez se han explicado cada una de estas definiciones, puede que ciertamente sea mucho más sencillo abordar una explicación sobre la Regla de tres compuesta directa-inversa, la cual ha sido descrita como el procedimiento matemático por medio del cual se logra despejar o conocer algún elemento incógnito de una proporción establecida entre tres magnitudes, pero en donde dos de ellas resultar directamente proporcionales, y otro para de ellas inversamente proporcionales.

Por igual, la disciplina matemática señala que existen dos posibles métodos por medio del cual se puede resolver la Regla de tres compuesta directa-inversa: el Método de la reducción a la unidad y el Método de las proporciones. A continuación, una breve explicación de cada uno de ellos:

Método de la reducción a la unidad

De acuerdo a lo que señalan las Matemáticas, este método irá orientado a descubrir, en base a la proporción planteada por el ejercicio, cómo se relaciona la unidad, para desde ahí poder establecer otras proporciones, que venga a despejar la incógnita planteada. Sin embargo, puede que la mejor forma de explicar este método matemático sea a través de la exposición de un ejemplo en concreto, que permita ver cómo debe aplicarse. A continuación, el siguiente ejercicio:

Una constructora logra levantar 4 casas en 30 días empleando 60 obreros, ¿cuántos trabajadores necesitaría si decidiera construir 6 casas, pero en un período de 90 días?

En este ejercicio existe una proporción constituida por tres distintas magnitudes, sin embargo entre ellas pueden encontrarse dos distintos tipos de proporciones, las cuales pueden ser explicadas de la siguiente manera:

  • Entre el número de casas y el número de días puede encontrarse una Magnitud directamente proporcional, puesto que si aumenta el número de casas a construir deberá aumentar igualmente el número de días a dedicar a esta labor.
  • Entre el número de días de trabajo y el número de obreros puede en cambio establecerse una Magnitud inversamente proporcional, ya que entre más días exista para la labor, menos números de obreros resultarán necesarios.

Teniendo claro esto, se continúa entonces en la resolución de este ejercicio. Por lo tanto, teniendo que 60 obreros levantan 4 muros en 30 días, lo primero que se hará es descubrir en cuántos obreros pueden levantar 1 solo muro. Con esta intención, se dividirá entonces el número de obreros entre la cantidad de muros:

60 : 4 = 15 obreros

No obstante, los 15 obreros construirán este muro en 30 días. Teniendo en cuenta de que se trata del Método de reducción a la unidad todavía será necesario determinar cuántos obreros se necesitará para construir un muro en un día. Por lo tanto se multiplican las siguientes magnitudes:

15 x 30 = 450 obreros

Obtenida la relación con la unidad, se procederá entonces a determinar cuántos obreros se necesitan toda vez que se deseen construir 6 muros en tan solo 1 día. Para esto se multiplica el número de obreros que construyen un muro en un día por el número de días que se desea calcular:

450 x 6= 2700 obreros construirán 6 muros en 1 día.

Para determinar cuántos obreros se necesitarán para construir estos 6 muros en 90 días, se tomará esta cifra y se dividirá entre 90:

2700 : 90 = 30 obreros.

De esta forma se han obtenido los siguientes resultados:

4 muros son construidos en 30 días por 60 obreros
1 muro es construido en 1 día por 450 obreros
6 muros son construidos en 1 día por 2.700 obreros
6 muros son construidos en 90 días por 30 obreros

Método de las proporciones

Por su parte, el Método de las proporciones será le otra forma en que puede resolverse una Regla de tres compuesta directa-inversa, la cual construirá la proporción entre los tres elementos, buscando despejar la incógnita. Empero, en este caso también será bueno recurrir a un ejemplo concreto para mostrar cómo debe aplicarse este método:

Una constructora logra levantar 4 casas en 30 días empleando 60 obreros, ¿cuántos trabajadores necesitaría si decidiera construir 6 casas, pero en un período de 90 días?

Lo primero que se hará será construir una tabla informativa, en donde se anoten todos los valores que se conocen sobre las distintas magnitudes:

Número de muros

Número de díasNúmero de obreros

4

30

60

690

x

Al hacer esto, es mucho más fácil el poder ver las razones que se construyen con estos datos, y sobre las que se construirá la proporción. No obstante, a la hora de construir esta será necesario anotar el inverso de la razón referente al número de días por resultar esta inversamente proporcional al número de obreros.

Para solucionar esto, se multiplicarán las dos primeras razones:

Al hacerlo, se construye entonces una proporción de dos magnitudes. Para resolverla se podrá aplicar la Regla de tres simple directa:

Se necesitarán entonces 30 obreros para levantar en 90 días un total de 6 muros.

Imagen: pixabay.com

Regla de tres compuesta directa-inversa
noviembre 30, 2018